3§6空间两直线的相关位置

§6空间两直线的相关位置

 

一空间两直线的位置关系：

设二直线

： i=1，2。

下面讨论空间两直线的相关位置问题.如图所示，由直线上定点，上的定点，得矢量，根据三矢量的关系可得下面的定理.

定理3.6.2 空间两直线（1）与（2）的相关位置关系的充要条件是

1⁰ 异面：

; (3.6-3)

2⁰相交：

， ； （3.6-4）

3⁰平行：

； （3.6-5）

4⁰重合：

. （3.6-6）

 

二 两直线的夹角：

 

 

设在直角系下，二直线，的方程如上，

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(图3.5)

且令φ=∠（，）

θ=∠（，） 则 φ=θ或φ=π-θ

∴cosφ=±cosθ=±=±

 

三 二异面直线间的距离：

假设二异面直线，的方程如上，则与间的距离是指夹在它们之间的垂线段之长度

令=

如图，设垂线段的长度

，则

d=∣射影矢量v°∣

=∣射影v°∣=∣V。∣==

若直线方程在直角系下给出，则

d=