上研究生的时候接触的第一个Loss function就是least square。最近又研究了一下，做个总结吧。
定义看wiki就够了。公式如下
E(w)=12∑n=1N{y−xWT}2
其中W。
我遇到的第一个问题是，这个公式是怎么得到的，motivation是什么。我个人倾向于最大似然这个角度来解释。具体如下：
假设回归或分类模型公式如下：
y=WTx+ϵ
X=(x1,y1)….,(xN,yN)，则可写出对应的似然函数
p(y∣X,w,σ)=Πn=1NN(WTx,σ2)
两边同取自然对数，则
ln(p(y∣X,w,σ))=∑i=1Nln(N(WTx,σ2))
而N(WTx,σ2)=12πσ2exp(−(y−WTx)22σ2)
故
ln(p(y∣X,w,σ))=−12σ2∑n=1N{yn−WTxn}2−12ln(2πσ2)
最大似然函数，求解W,
W∗=argminW−12σ2∑n=1N{yn−WTxn}2−12ln(2πσ2)
上式中第二项与W无关，可以省略，故
W∗=argminW−12σ2∑n=1N{yn−WTxn}2
把上式中的σ2取掉，就是我们熟悉的最小二乘法啦。
求解时，对对数似然函数求偏导（注意矩阵求导的规则）
∇ln(p(y∣X,w,σ))=−∑n=1N{yn−WTxn}xnT 令上式为0，则有
∑n=1NynxnT=WT∑n=1NxnxnT
两边同取矩阵的逆，则有： ∑n=1NxnynT=∑n=1NxnxnTW
如果用W=(XXT)−1XYT
上面的公式称为normal equation。可以求得W一般用梯度下降法求解。
最大似然法在一定程度上证明了最小二乘法的合理性，但是事实上在历史上最小二乘的出现早于前者，所以可以从其它的角度思考一下最小二乘的合理性。比如最小二乘的几何意义，这篇文章讲的挺好的，看了之后受益匪浅。
from: http://bucktoothsir.github.io/blog/2015/12/04/leastsquare/