想要明白线性系统，我们先要了解线性这个概念，以及知道线性系统可以用微分方程表示
线性性
对于一个函数 y=f(x) 来说，如果他有线性性，则必须要满足两个法则：比例性和叠加性
- 比例性：对于任意的a，都有 a
=
(a
) 成立，即x扩大a倍，y也扩大a倍。
- 叠加性：若
=
），
) ，则 (
)=
(
比如 y=x+1 是一条直线，但它并不是线性的，即不满足上述条件，所以并不是所有直线都是线性的
微分运算也是一种线性运算
- 检验比例性
设 =
(x) , 则d(ky)/dx = kd(y)/dx = kg , 故满足比例性
- 检验叠加性
设 =
(
) ,
=
(
) , 则 d(
+
)/dx = d(
)/dx+d(
)/dx =
+
, 故满足叠加性
更高阶的微分同理可证，所以微分运算也是一种线性运算
这里提一句，单纯的微分运算对常数项无要求，即有无常数项都满足线性性
微分方程的线性性
微分方程是在微分计算的基础上的数学运算，设有下述微分方程:
+
=
+
可以验证比例性 , 叠加性
都成立
这里我就不验证了，第一次打公式，真的感觉好麻烦
这里又提一下，微分方程对常数项就有要求了，即有常数项，则微分方程不具有线性性
线性系统
可以用简单的一句话来描述线性系统：若该系统的的微分方程满足线性性，则该系统为线性系统
但是对于线性系统来说，一定要先区分系统的输入与输出，再来分析线性系统
例如函数：
此时 才是输入，t不是直接的输入变量，所以即使
不是线性的，但该系统仍是线性的
如何从微分方程上判断线性系统
- 只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；
- 函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；
- 函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；
- 若有积分项，被积函数应为输入变量，如
。其实积分就是微分的负次幂。
- 不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算。
与高等数学的线性方程的区别（以一阶为例）
高等数学中的一阶线性微分方程通常表示为：
自控原理中的一阶线性微分方程通常表示为：
看到两式的区别了吗？高数中 是
的函数，自控中
都是
的函数。