提到扩展欧几里德算法，先简要介绍下欧几里德算法，又称辗转相除法，用于计算两个整数a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor(GCD)）。
为证明gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)，只需证明
(1)gcd(a,b) | gcd(b,a mod b)
设d=gcd(a,b) 则d|a且d|b
a mod b=a-qb (设q=[a/b])
由d|ax+by 则d|a mod b
所以d| gcd(b,a mod b)
(2)gcd(b,a mod b) | gcd(a,b)
设d=gcd(b,a mod b)
则d|b且d|a mod b
a=qb+(a mod b) (q=[a/b])
得d|a
所以d|gcd(a mod b)
求解a和b的最大公约数中，a可以表示为kb+r，则r =a mod b，假设d是a和b的一个公约数，则有d|a，d|b，r = a - kb,因此d|r（因为d是a的约数，又是b的约数，所以也是他们的多项式的约数）,所以d是(b,a mod b)的公约数。所以在这不断代换中，a 必然＞ｂ，每次将ａ换成ｂ，ｂ换成ａmod b, a ,b 不断减小。直到b为0时，此时a为他们的最大公约数。
1 int euclid(int a,int b) 2 { 3 if (b==0) 4 return a; 5 else 6 return euclid(b,a%b); 7 }