先拜大牛。感谢贾志鹏严谨的思维。以及简单清晰的论文描述。
一定要结合论文看。我只是提出我觉得关键的部分。论文在网上随处可见。贾志鹏线性筛。
开头两种线性筛的比较。
一种是传统的线性筛。时间复杂度为N*log(log(N))。
另外一种是优化了合数的筛法。文中称作Euler线性筛。
其优化的地方。
举个例子：合数6。 是2的倍数也是3的倍数。 当你用传统的筛法的时候在遍历2的倍数的时候会遍历到6。遍历3的倍数的时候同样也会遍历到6。
而另外一种只会筛出6为2的倍数。3就不会筛6了。
另外个人认为筛法二有一个很重要的思想。当i为合数的时候。其实脑海里不认为是合数。而是素数的乘积。这样就能比较直观地确定这个算法的正确性了。
积性函数。
分为完全积性和条件积性。
我们最喜欢的积性。大概就是互素积性了。因为满足互素积性的话。根据算术基本定理。就能够简单做到推广到任意实数。
f(1) = 1 。 这个在我们高中数学题。抽象函数。就已经能简单知道了。
欧拉函数。就不再谈了。包括其线性筛的那一步至关重要的证明。也在我其它博文提到过了。
其 欧拉定理和费马小定理的作用。我得再多补充一点。
以及互质数和。 n的互质数和为 n*φ(n)/2.
莫比乌斯函数和容斥定理的关系。
可以发现莫比乌斯函数其实就是容斥定理的映射一般。
莫比乌斯函数 是我们再熟悉不过的了。不熟悉可以看这里。
首先看 (-1)^r m = p1p2p3p4p5pr 其实就是在模拟容斥定理。
假如一但不是素数。那就为0.
两个函数的线性筛。这其实是我们处理问题的基本。这里需要讲的是。不一定只有积性函数才可以用这种筛法。
只要你能找到f(kn) n整除k 和不整除的两个时刻所对应的递推式。这个在扩展问题中会出现。
问题一：求1~N对质数P的乘法逆元。
关于f(n)为完全积性函数。根据同余定理可以简单获得。要证明的话。减法证同余即可。
P = nt + k
n' ≡ n*(t^2)*f(k)^2 (mod P)
这个证明过程很漂亮(很佩服这么顺畅,思维这么清晰)。也是根据同余定理。还有逆元的性质。就能推理的。
这个问题的意义。可以求N!的 mod P 的逆元了。逆元还是很有用的。因为毕竟除法并没有特别好的同余式。（依稀还记得那两个。）
问题二：给T组N,M.依次求出的值.(N,M<=10^6,T<=10^3)
求解gcd(a,b).把gcd(a,b)当做n.再通过欧拉函数和式。推导过程如下。
第二个等式是用d来看待式子的方法来化简和式的。
之后再穷举d即可。
#include<stdio.h> #include<string.h> #define N 100 bool mark[N+5]; int prime[N+5]; int num; int euler[N+5]; int Min(int a,int b){return a>b?a:b;} void Euler() { int i,j; num = 0; memset(euler,0,sizeof(euler)); memset(prime,0,sizeof(prime)); memset(mark,0,sizeof(mark)); euler[1] = 1; // multiply function for(i=2;i<=N;i++) { if(!mark[i]) { prime[num++] = i; euler[i] = i-1; } for(j=0;j<num;j++) { if(i*prime[j]>N){break;} mark[i*prime[j]] = 1; if(i%prime[j]==0) { euler[i*prime[j]] = euler[i]*prime[j]; break; } else { euler[i*prime[j]] = euler[prime[j]]*euler[i]; } } } } int main() { int i; int M1,M2; Euler(); for(i=0;i<num;i++)printf("%d ",prime[i]); printf("\n"); for(i=1;i<=N;i++)printf("%d ",euler[i]); printf("\n"); M1 = 2; M2 = 3; int sum = 0; int min = Min(M1,M2); for(i=1;i<=min;i++) { sum += euler[i]*(M1/i)*(M2/i); } printf("%d\n",sum); }