最小生成树Minimum Spanning Tree
一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。
树: 无回路
|V|个顶点，一定有|V|-1条边
生成树: 包含全部顶点
|V|-1 条边都在图里
边权重和最小
最小生成树存在<--->图联通
向生成树中任加一条边都一定构成回路
贪心算法
“贪”：每一步都要最好的
“好”：权重最小的边
需要约束：
①只能用图里有的边
②只能正好用掉|V|-1条边
③不能有回路
Prim算法— 让一棵小树长大
| 步骤 | |
| 1 | 任意选取v1为顶点开始，并将v1收录进MST |
| 2 | v1有三条边，选取最短边(v1,v4)为1，并将v4收录进MST |
| 3 | MST={v1,v4}的边中在选取最小的(v1,v2)为2，将v2收录进MST |
| 4 | MST={v1,v4,v2}，选(v4,v3)为2，将v3收录进MST |
| 5 | 不能选(v4,v2)3，会构成回路。所以接着选(v4,v7)4，将v7收录进MST |
| 6 | 选(v7,v6)为1，将v6收录进MST |
| 7 | (v7,v5)6，将v7收录进MST |
T = O(|V|^2) ---稠密图合算
1 /* 邻接矩阵存储 - Prim最小生成树算法 */ 2 3 Vertex FindMinDist( MGraph Graph, WeightType dist[] ) 4 { /* 返回未被收录顶点中dist最小者 */ 5 Vertex MinV, V; 6 WeightType MinDist = INFINITY; 7 8 for (V=0; V<Graph->Nv; V++) { 9 if ( dist[V]!=0 && dist[V]<MinDist) { 10 /* 若V未被收录，且dist[V]更小 */ 11 MinDist = dist[V]; /* 更新最小距离 */ 12 MinV = V; /* 更新对应顶点 */ 13 } 14 } 15 if (MinDist < INFINITY) /* 若找到最小dist */ 16 return MinV; /* 返回对应的顶点下标 */ 17 else return ERROR; /* 若这样的顶点不存在，返回-1作为标记 */ 18 } 19 20 /* 将最小生成树保存为邻接表存储的图MST，返回最小权重和 */ 21 int Prim( MGraph Graph, LGraph MST ) 22 { 23 WeightType dist[MaxVertexNum], TotalWeight; 24 Vertex parent[MaxVertexNum], V, W; 25 int VCount; 26 Edge E; 27 28 /* 初始化。默认初始点下标是0 */ 29 for (V=0; V<Graph->Nv; V++) { 30 /* 这里假设若V到W没有直接的边，则Graph->G[V][W]定义为INFINITY */ 31 dist[V] = Graph->G[0][V]; 32 parent[V] = 0; /* 暂且定义所有顶点的父结点都是初始点0 */ 33 } 34 TotalWeight = 0; /* 初始化权重和 */ 35 VCount = 0; /* 初始化收录的顶点数 */ 36 /* 创建包含所有顶点但没有边的图。注意用邻接表版本 */ 37 MST = CreateGraph(Graph->Nv); 38 E = (Edge)malloc( sizeof(struct ENode) ); /* 建立空的边结点 */ 39 40 /* 将初始点0收录进MST */ 41 dist[0] = 0; 42 VCount ++; 43 parent[0] = -1; /* 当前树根是0 */ 44 45 while (1) { 46 V = FindMinDist( Graph, dist ); 47 /* V = 未被收录顶点中dist最小者 */ 48 if ( V==ERROR ) /* 若这样的V不存在 */ 49 break; /* 算法结束 */ 50 51 /* 将V及相应的边<parent[V], V>收录进MST */ 52 E->V1 = parent[V]; 53 E->V2 = V; 54 E->Weight = dist[V]; 55 InsertEdge( MST, E ); 56 TotalWeight += dist[V]; 57 dist[V] = 0; 58 VCount++; 59 60 for( W=0; W<Graph->Nv; W++ ) /* 对图中的每个顶点W */ 61 if ( dist[W]!=0 && Graph->G[V][W]<INFINITY ) { 62 /* 若W是V的邻接点并且未被收录 */ 63 if ( Graph->G[V][W] < dist[W] ) { 64 /* 若收录V使得dist[W]变小 */ 65 dist[W] = Graph->G[V][W]; /* 更新dist[W] */ 66 parent[W] = V; /* 更新树 */ 67 } 68 } 69 } /* while结束*/ 70 if ( VCount < Graph->Nv ) /* MST中收的顶点不到|V|个 */ 71 TotalWeight = ERROR; 72 return TotalWeight; /* 算法执行完毕，返回最小权重和或错误标记 */ 73 }