单变量微积分笔记—— 积分方法之换元法总结（简单换元和三角换元）

文章目录

• 换元法求解积分
• 简单换元法
• 思路
• 举例
• *三角换元法*
• 基本三角恒等式
• 常用换元类型
• 三种类型及二次换元
• 非纯平方项的情况
• 相关例题
• 特殊情况——反三角函数的积分和导数

换元法求解积分

这一篇将会结合一些例题总结如何用换元法求解积分，其中最重要的就是三角换元了。听完了MIT 18.01相关的课程后又觉得大一白学了哈哈。Let’s start it!

简单换元法

思路

当我们遇到一些形如 $\int f(x)dx$∫f(x)dx 的积分表达式并不能通过我们已知的导数和积分对儿来求解的时候（常见的对儿有$x^n$xn，$ln(x)$ln(x)等等），我们就需要用$u(x)$u(x)把 $f(x)dx$f(x)dx 中的自变量 $x$x 替换掉，找到那些反导数好求解的被积函数 ，即 $g(\cdot)$g(⋅)，然后通过 $\int g(u(x))du(x)$∫g(u(x))du(x) 来间接求解原函数$f(x)$f(x)的反导数或定积分。

举例

（本例来自于18.01讲义session 38a)
求积分：
$\int x^3(x^4+2)^5dx$∫x3(x4+2)5dx

本例中$f(x)= x^3(x^4+2)^5$f(x)=x3(x4+2)5，我们并不能直接找到其反导数（或不定积分），这时就需要想办法换元。
令$u(x)=x^4+2$u(x)=x4+2，或简记为$u=x^4+2$u=x4+2，等号两边同时取微分，可以得到：
$du=4x^3dx$du=4x3dx
代入原式,
$\int x^3(x^4+2)^5dx=\int u^5\frac{du}{4}=\frac{1}{4}\int u^5du=\frac{1}{24}u^6+C$∫x3(x4+2)5dx=∫u54du​=41​∫u5du=241​u6+C
把$u$u换回$x$x，可以得到最后答案
$\int x^3(x^4+2)^5dx=\frac{1}{24}(x^4+2)^6+C$∫x3(x4+2)5dx=241​(x4+2)6+C

三角换元法

上面的换元法可以说非常直接了，但换元法的重中之重我觉得还是三角换元，思路是在原函数 $f(x)$f(x) 中找到符合三角恒等式的规律，然后将自变量 $x$x 替换成对应的三角函数。接下来我先总结一下三角换元中比较好用的三角恒等式，再具体介绍常用的换元类型，最后说一下一些特殊情况。

基本三角恒等式

这里借此机会我先回顾下常用的三角恒等式：

$cos^2\theta+sin^2\theta=1$cos2θ+sin2θ=1$cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta$cos2θ=cos2θ−sin2θ$cos^2\theta=\frac{1+cos2\theta}{2},sin^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{2}$cos2θ=21+cos2θ​,sin2θ=21−cos2θ​$sec\theta=\frac{1}{cos\theta}, tan\theta=\frac{sin\theta}{cos\theta}$secθ=cosθ1​,tanθ=cosθsinθ​$tan^2\theta=1+sec^2\theta$tan2θ=1+sec2θ$\frac{d}{d\theta}tan\theta=sec^2\theta d\theta$dθd​tanθ=sec2θdθ$\frac{d}{d\theta}sec\theta=sec\theta tan\theta d\theta$dθd​secθ=secθtanθdθ
还要注意下$sec\theta$secθ的积分推导$\int sec\theta d\theta=ln|sec\theta+tan\theta|+C$∫secθdθ=ln∣secθ+tanθ∣+C
推导过程比较简单，会的可以直接跳过。构造函数$u=sec\theta+tan\theta$u=secθ+tanθ，可以得到
$du=sec\theta(sec\theta+tan\theta)d\theta=usec\theta d\theta$du=secθ(secθ+tanθ)dθ=usecθdθ$\frac{du}{u}=sec\theta d\theta$udu​=secθdθ$\int sec\theta d\theta=\int \frac{du}{u}=ln|u|+C=ln|sec\theta+tan\theta|+C$∫secθdθ=∫udu​=ln∣u∣+C=ln∣secθ+tanθ∣+C

常用换元类型

三种类型及二次换元

被积函数包含	替换方法	得到的结果
$\sqrt{a^2-x^2}$a2−x2​	$x=acos\theta$x=acosθ 或者 $x=asin\theta$x=asinθ	$asin\theta$asinθ或者$acos\theta$acosθ
$\sqrt{a^2+x^2}$a2+x2​	$x=atan\theta$x=atanθ	$asec\theta$asecθ
$\sqrt{x^2-a^2}$x2−a2​	$x=asec\theta$x=asecθ	$atan\theta$atanθ

在第一次换元之后，我们还需要把得到的式子还原回以 $x$x 为变量的函数（也就是二次换元），这时就需要构造一个特殊的直角三角形，用以下的例子来说明：
求解 $tan(sin^{-1}x)$tan(sin−1x) 的值：
令 $\theta=sin^{-1}x$θ=sin−1x，即$sin\theta=x$sinθ=x，画出符合要求的直角三角形:

可以看出$tan(sin^{-1}x)=tan\theta=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$tan(sin−1x)=tanθ=1−x2​x​

其他具体的积分运算请参考之后的相关例题。

非纯平方项的情况

除了上述三种情况之外，有时候根号下会出现一次项，比如$\sqrt{x^2+4x}$x2+4x​，遇到这类情况时的思路是配方（completing the square），即$\sqrt{x^2+4x}=\sqrt{(x+2)^2-4}$x2+4x​=(x+2)2−4​，其中 $a=2$a=2，再令$u=x+2=2sec\theta$u=x+2=2secθ即可。

相关例题

求不定积分：
$\int x\sqrt{x^2-9}dx$∫xx2−9​dx
第一次换元：令$x=3sec\theta$x=3secθ，$dx=3sec\theta tan\theta d\theta$dx=3secθtanθdθ，$\sqrt{x^2-9}=3tan\theta$x2−9​=3tanθ，原式即可整理为：
$\int x\sqrt{x^2-9}dx=\int27tan^2\theta sec^2\theta d\theta$∫xx2−9​dx=∫27tan2θsec2θdθ
令$u=tan\theta$u=tanθ，$du=sec^2\theta$du=sec2θ
$\int27tan^2\theta sec^2\theta d\theta=27\int u^2du=9u^3+C=9tan^3\theta+C$∫27tan2θsec2θdθ=27∫u2du=9u3+C=9tan3θ+C
第二次换元（还原自变量）：
先构造符合要求$sec\theta=x/3$secθ=x/3的三角形：

从图中可以看出：
$tan\theta=\frac{\sqrt{x^2-9}}{3}$tanθ=3x2−9​​
最后带入到原式可以得到：

$\int x\sqrt{x^2-9}dx=9tan^3\theta+C=\frac{1}{3}(x^2-9)^{2/3}+C$∫xx2−9​dx=9tan3θ+C=31​(x2−9)2/3+C

（注意！在求定积分的时候一定要注意积分上下限的替换！！！！）

特殊情况——反三角函数的积分和导数

反三角函数的求导也涉及了构造三角形法，比如求$\frac{d}{dx}tan^{-1}x$dxd​tan−1x和$\frac{d}{dx}sin^{-1}x$dxd​sin−1x。

由已知条件：$y=tan^{-1}x$y=tan−1x，即$x=tany$x=tany。两边同时对$x$x求导并运用链式法则可以得到：
$\frac{d(tany)}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=1$dyd(tany)​⋅dxdy​=1$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{sec^2y}=cos^2y$dxdy​=sec2y1​=cos2y通过构造三角形，可以发现：
$\frac{d(tan^{-1}x)}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$dxd(tan−1x)​=1+x21​
同理可以得到:
$\frac{d(sin^{-1}x)}{dx}=sec(sin^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$dxd(sin−1x)​=sec(sin−1x)=1−x2​1​
对应的积分表达式为：
$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=sin^{-1}x+C$∫1−x2​1​dx=sin−1x+C$\int \frac{1}{1+x^2}dx=tan^{-1}x+C$∫1+x21​dx=tan−1x+C