第四章 二元关系和函数 4.4关系的闭包

4.4关系的闭包

简单来说就是对关系R添加尽可能少的元素得到$R^{’}$R’,使得 $R^{’}$R’有自反/对称/传递的性质。则称 $R^{’}$R’为R的自反闭包/对称闭包/传递闭包。

例题：

除了根据其概念特性直接推算出来，我们还可以用集合的运算来求：

其实这个就是我们刚才思路的具体化：
<1>$I_A$IA​里的元素都是环，这已经是最小的有用元素的集合了。
<2>$R^{-1}$R−1里的元素是每条边的反方向边，没有冗余元素了。
<3>对其一个周期求并运算就可以使其满足传递且无多余元素。

例：

下边我们给出闭包的一些定理：


注意：
因为这里传递关系的自反闭包不一定能保持其传递性，所以我们要求一个关系的既满足自反，对称和传递闭包时应该最后求传递闭包。

除了用集合运算的方法来求闭包，我们还可以用矩阵的方法：

• $M_r$Mr​ = $M$M + $E$E
• $M_s$Ms​ = $M$M + $M^{’}$M’ （$M^{’}$M’ 为$M$M的转置矩阵）
• $M_t$Mt​ = $M$M + $M^{2}$M2+ $M^{3}$M3 + ……

练习1：
设集合A={1,2,3}上的关系，R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,< 3,3>}，

则R的自反闭包r( R ) 具备下列哪些性质？

解：
依题得：r（R）= {<1,1>,<1,2>,<1,3>,< 3,3>,<2,2>}
所以其具有自反性，反对称性，传递性。

练习2：

练习3：