算法设计与分析课程复习笔记12——全点对最短路径

算法设计与分析课程复习笔记12——全点对最短路径

全成对最短路径

输入：有向图G=(V,E), 权函数w，
计算:图中任何点对之间的最短距离
结果表示: n × n矩阵, 元素是对应的点对之间的最短距离δ(u, v)

解决方案：

• 对于每一个顶点, 运行BELLMAN-FORD(单源最短))
  计算开销: O(V²E), 甚至O(V⁴)：对于边稠密的图
• 如果不存在负权值边, 可利用Dijkstra’s算法计算单源最短
  计算开销:O(VElgV), 甚至O(V³lgV)：对于边稠密的图
• 可以设计O(V³)开销的全成对最短路径算法，且不需要特殊的数据结构

最短路径的优化结构

• 最短路径的部分路径必然是最短的
• p是从i到j至多含有m条边的最短路径
  if i = j ,w(p) = 0
  if i ≠ j , p = i ~(p’)k→j，p’最多有m-1条边，p’也是最短路径
  δ(i, j) = δ(i, k) + $w_{kj}$wkj​

递归解
$l_{ij}^{(m)}$lij(m)​:从i到j至多含有m条边的最短路径的权
m=0, $l_{ij}^{(0)}$lij(0)​=0,if i =j;　$l_{ij}^{(0)}$lij(0)​=$\infty$∞,if i ≠j。
m$\geq$≥ 0,$l_{ij}^{(m)}$lij(m)​ = $min_{1≤k≤n}\{l_{ik}^{(m-1)}+w_{kj}\}$min1≤k≤n​{lik(m−1)​+wkj​}

计算最短路径
m=1:$l_{ij}^{(1)}$lij(1)​=$w_{ij}$wij​,$L^{(1)}$L(1)=W
给出W = ($w_{ij}$wij​), 计算$L^{(1)}, L^{(2)}, …, L^{(n-1)}$L(1),L(2),…,L(n−1)
$L^{(n-1)}$L(n−1)包含最短路径
计算过程：给出$L^{(m-1)}$L(m−1)和W，计算$L^{(m)}$L(m)
如果没有负权回路, 所有的最短路径至多含有n -1条边, 因此有
δ(i, j) = $l_{ij}^{(n-1)}$lij(n−1)​and $l_{ij}^{(n)}$lij(n)​,$l_{ij}^{(n+1)}$lij(n+1)​……=$l_{ij}^{(n-1)}$lij(n−1)​

延伸算法
Extend(L,W,n)
　create L’, an n*n matrix
　for i ← 1 to n
　　do for j ← 1 to n
　　　　do $l_{ij}'$lij′​ ← $\infty$∞
　　　　　for k ← 1 to n
　　　　　　do $l_{ij}'$lij′​ ← min($l_{ij}'$lij′​,$l_{ik}$lik​+$w_{kj}$wkj​)
　return L’

运行开销：$Θ(n^3)$Θ(n3)

成对最短路径算法（慢速）
SLOW-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W,n)
　$L^{(1)}$L(1) ← W
　for m ← 2 to n-1
　　do $L^{(m)}$L(m) ← Extend($L^{(m-1)}$L(m−1),W,n)
　return $L^{(n-1)}$L(n−1)

运行开销：$Θ(n^4)$Θ(n4)

例如给定W，先计算$L^{(1)}$L(1)=W，则$L^{(m-1)}$L(m−1)=$L^{(1)}$L(1),接着由$L^{(m-1)}$L(m−1)和W计算$L^{(m)}$L(m)=$L^{(2)}$L(2)，以此类推，直到计算出$L^{(4)}$L(4)

改进运行时间

• 不必计算所有$L^{(m)}$L(m)
• 如果没有负回路, 则有:$L^{(m)}$L(m)=$L^{(n-1)}$L(n−1) for all m $\geq$≥n-1
• 通过计算以下序列：$L^{(1)}$L(1)=W，$L^{(2)}$L(2)=W²=W*W,$L^{(4)}$L(4)=W⁴=W²*W²,$L^{(8)}$L(8)=W⁸=W⁴*W⁴

$L^{(n-1)}$L(n−1)=$W^{2^{\lceil lg(n-1)\rceil}}$W2⌈lg(n−1)⌉

快速算法FASTER-APSP(W, n)
　$L^{(1)}$L(1) ← W
　m ← 1
　while m < n-1
　　do $L^{(2m)}$L(2m) ← Extend($L^{(m)}$L(m),$L^{(m)}$L(m),n)
　　　m ← 2m
　return $L^{(m)}$L(m)

运行开销：$Θ(n^3lgn)$Θ(n3lgn)

Floyd-Warshall 算法
给定：G(V,E),可以存在负权边，但不能存在负权回路。
计算：点对之间的最短距离

最短路径结构
对于任何点对i和j, 考虑所有从i到j的路径, 这些路径的中间节点来自集合{1, 2, …, k}
$d_{ij}^{(k)}$dij(k)​：从i到j的路径的权值, 中间节点来自集合{1, 2, …, k} )

例如：

如果顶点k不是路径p的中间节点，则从i到j的中间节点来自{1, 2, …,k}的最短路径即是从i到j的中间节点来自{1,2, …, k - 1}的最短路径。
如果顶点k是路径p的中间节点，则$p_1$p1​是i到k的最短路径，$p_2$p2​是k到j的最短路径,k不是$p_1$p1​，$p_2$p2​的中间节点，$p_1$p1​和$p_2$p2​是最短路径。

递归解
k=0,$d_{ij}^{(k)}$dij(k)​=$w_{ij}$wij​
k$\geq$≥ 1,顶点k不是路径p的中间节点,$d_{ij}^{(k)}$dij(k)​=$d_{ij}^{(k-1)}$dij(k−1)​
顶点k是路径p的中间节点,$d_{ij}^{(k)}$dij(k)​=$d_{ik}^{(k-1)}$dik(k−1)​+$d_{kj}^{(k-1)}$dkj(k−1)​

最终解：$D^{(n)}$D(n)=($d_{ij}^{(n)}$dij(n)​)

FLOYD-WARSHALL(W)
　n ← rows[W]
　$D^{(0)}$D(0) ← W
　for k ← 1 to n
　　do for i ← 1 to n
　　　　do for j ← 1 to n
　　　　　　do $d_{ij}^{(k)}$dij(k)​ ← min($d_{ij}^{(k-1)}$dij(k−1)​,$d_{ik}^{(k-1)}$dik(k−1)​+$d_{kj}^{(k-1)}$dkj(k−1)​)
　return $D^{(n)}$D(n)

运行开销：$Θ(n^3)$Θ(n3)

参考：任课教师邱德红教授的课件