方程组的几何解释

假设有以下二元一次方程组：
$2x + 3y = 5$2x+3y=5
$x - 4y = -3$x−4y=−3
求方程组的解，这个解很简单就能求出来，$x = 1, y = 1$x=1,y=1
我们常见的几何理解即如下图，是$2x + 3y = 5与x - 4y = -3$2x+3y=5与x−4y=−3两条直线的交点：

如果从向量角度看呢，先将方程组写成矩阵的形式，即：
$\left[ \begin{matrix}2& 3 \\1 & -4 \\\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}x \\y \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}5 \\-3 \\\end{matrix} \right]$[21​3−4​][xy​]=[5−3​]
变形：
$x\left[ \begin{matrix}2 \\1 \\\end{matrix} \right]+y\left[ \begin{matrix}3 \\-4 \\\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}5 \\-3 \\\end{matrix} \right]$x[21​]+y[3−4​]=[5−3​]
设$a=(2,1),b=(3,-4),u=1a+1b$a=(2,1),b=(3,−4),u=1a+1b,画出向量$a,b,u$a,b,u的图：

可看出，将$x=1,y=1$x=1,y=1带入后，正好得到$u=(5,-3)，此即时方程组的另一种几何解释。