引言
在前文中，已经利用分治思想，将原本需要O(mn)空间复杂度的动态规划问题转换成只需要O(m+n)，进一步地，在本文中，我们考虑能否将时间复杂度也降低。最终实现的结果是将O(mn)的时间复杂度降低到O(αmax{m,n})。
减少冗余计算
问题分析
考虑如果两个需要对齐的字符串很不相似（例如“gold”，“time”），我们是否还有必要用动态规划的方式对其计算相似度？设计动态规划对齐两个字符串的目的（我们从应用出发），如修正用户的错误输入，对比文章是否抄袭，这些都建立在两者较为相似的情况下（这个较为相似的标准由使用者制定）。因此，我们可以对那些很多字符对不上的字符串做一个预处理，直接在这个阶段停止，减少没必要的计算，而相似度较高的两个字符串体现在动态规划中有什么特点？
箭头的方向：
- 向上的箭头：S用空格与T中字符对齐
- 向左的箭头：T用空格与S中字符对齐
- 斜向上的箭头：S与T中字符与字符对齐（可能相等&不等）
可以发现像左下角-30这样的犄角旮旯，根本不会影响到最终路径的结果，预处理去掉很不相似的单词，可以保证最终的路径应该在对角线附近，所以我们真正需要计算的是对角线附近的区域。
解决思路
通过设置一个参数α在原数组上开出一个条偏离带，如下图：
在原动态数组中即如下：
伪代码对比
原伪代码采用双重for循环，将每一个格子的结果计算出来，进行了太多不必要冗余计算，如下：
设置了α之后伪代码如下：
将不足条带α长度的部分补全，可以发现总的计算格子数量不大αmax{m,n}新的时间复杂度是O(αmax{m,n})。
总结
通常我们降低算法运行时间复杂度办法是减少冗余计算，我们通过观察回溯路径，发现我们真正要考虑的是那些相似度较高的情况，对于一些差异较大的，我们直接在预处理部分就可以去掉。因此我们发现这类结果路径通常位于对角线附近，这就发现侧边角的结果实际上是冗余计算。为了避免，设计了步骤如下：
- 将可能区域用条带包裹起来，这个条带的表现就是参数α
- 对数组对重新定义计算方式(BANDED−DP(T,S,α))，多考虑了一层其是否在条带内的因素，这里减少了冗余计算
从序列联对的案例可以看出，为了减少实际使用过程的时间复杂度，我们可以通过结合应用将所有可能案例进行拆分，对于明显不成立的情况，可以在预处理阶段进行筛除，为后续降低时间复杂度提供基础。