不等式：
这是微积分中非常重要的一个不等式，从它出发，推动逻辑齿轮，可以得到很多结论：
下面介绍该不等式的两种证明方式：
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一种出自同济大学的《高等数学》第七版，该书偏于应用，证明比较直觉
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另外一种参考自陶哲轩的《实分析》，该书数学味道更浓，证明比较严格
本文之所以要介绍这两种证明方法，是因为它们是旧时代数学和新时代数学的代表。
1 《高等数学》中的证明
同济大学的《高等数学》第七版：
虽然之前我们对它的可读性有一些批评，但作为广为使用的教材，在严谨性和教学性上，还是必须承认它是不错的。
1.1 证明
在同济大学的《高等数学》第七版中，该证明在第一章第六节，书上大概是这么写的，在单位圆上，设圆心角，作
，容易知道：
画在图上就是：
从图中可以看出：
很显然，在时，上述面积关系一直存在：
因此，算出面积后，可推出目标不等式：
1.2 缺陷
上述几何证明的理论基础来自于2000年前的《几何原本》以及后人对它的一些增补，可能你会觉得已经挺严格了，但在数学家眼里，满满都是缺陷，比如面积、弧长、弧度都没有明确定义：
上述说的数学家就是希尔伯特、布尔巴基等人，他们认为在《几何原本》已经千疮百孔，没有办法修补了，就在集合论基础上用公理的方法重新构造了整个现代数学，下面要介绍的《陶哲轩实分析》就是重新构造后的数学教科书。
2 《陶哲轩实分析》中的证明
大神陶哲轩：
写了一本《陶哲轩实分析》，这本书在豆瓣上面评分9.4。第一次看到的时候惊为天人，刷新了我对数学的认知。下面一起看看该书是怎么来证明的。
2.1 前置定义
《陶哲轩实分析》总共19章，该证明所需要的信息在15章的最后才出现，那么前面到底写了些什么？当然就是把刚才数学家认为的“缺陷”给定义出来：
（1）定义了实数。过程大概是这样的，首先通过皮亚诺公理定义了自然数，然后通过加减定义了整数
，再然后通过乘除得到了有理数
，最后通过柯西数列完成了对实数
的定义：
（2）定义了极限。顺便将无穷小、连续、各种中值定理给定义或者证明了。
（3）定义了微积分。在极限的基础上，定义了导数、微分、积分等。
（4）定义了什么是长度、什么是面积。这些定义在书中称为度量空间。比如，根据定义，、
之间的距离为：
再通过定积分定义了面积和弧长：
（5）定义了幂级数。
至此，完成了弧长、面积的定义，弧度在下面会给出定义。
2.2 不等式的证明
前置准备完成后，书中通过幂级数定义了正弦函数、余弦函数（在这里，作者顺便定义了，就是使
成立的最小正实数）：
对上述定义两侧求导，可得：
接着定义函数，通过链式法则求导可得：
因为导数为0，所以可知的值为常数。又容易算出
，所以有：
上面这个式子说明，从而可得
那剩下来只需证明的情况，在这个区间内，根据幂级数的性质容易得出（这里不再赘述，毕竟不是本文的重点）：
减去一个大于零的数，这说明：
最终得到了目标不等式（从上述证明看，实际上这个不等式在整个正实数范围都是成立的）：
2.3 几何意义
几何中的定义是这样的，首先对直角三角形的各边进行命名：
得到正弦的定义为：
那么在《陶哲轩实分析》中定义的几何意义也一样吗？我们来看看，先构造参数方程：
根据之前得到的，结合距离的定义，上述参数方程描述的就是中心点在圆心的单位圆：
如果点坐标为
，定义圆心角
的角度为
（弧度的定义也有了），作
，容易知道
以及
：
那么有：
因此，这样定义的也具有同样的几何意义。
3 总结
在初中介绍三角函数的时候。如果老师告诉你，正弦函数的定义如下，要这样都不弃学，我给你点个赞：
现代数学的公理化构造方式，搭建了牢不可破的数学大厦，但确实造成了理解上的障碍。所以，我们还是应该选择循序渐进的学习方式，从一些几何直观出发，逐步去拥抱数学。