麻省理工大学线性代数导论笔记 - Lecture 7 求解Ax=0：主变量、特殊解

学习视频来源：麻省理工公开课_线性代数导论 讲师：Gilbert Strang

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Lecture 7 求解Ax=0：主变量、特殊解

我们将从定义转向算法，求解Ax=0$Ax=0$的算法是怎样的？这节的主要内容是零空间。

已知矩阵A=⎛⎝⎜⎜1232462682810⎞⎠⎟⎟$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 2& 2\\ 2& 4& 6& 8\\ 3& 6& 8& 10\end{array}\right)$，解方程组⎧⎩⎨⎪⎪x1+2x2+2x3+2x4=02x1+4x4+6x3+8x4=03x1+6x2+8x3+10x4=0$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+2x_3+2x_4=0\\ 2x_1+4x_4+6x_3+8x_4=0\\ 3x_1+6x_2+8x_3+10x_4=0\end{array}$。在对矩阵进行消元的过程中，零空间不会改变（方程组的解不变），改变的是列空间。

- 首先经过消元得到一个echelon form 阶梯形式的矩阵U$U$，本例中只有两个主元。现在我们得到了矩阵里最重要的数字：矩阵的rank 秩（主元的数量）。

• 要想求出Ux=0$Ux=0$的解，我们进行下一步：找出pivot variables 主变量。
  

• 本例中我们有两列pivot columns 主列，和剩下的两列free columns 自由列。这些自由列表示，可以自由或任意分配数值给未知数x2$x_2$和x4$x_4$，即列2和列4的乘数是任意的。然后我们只需求解主变量x1$x_1$和x3$x_3$。

• 假设给定x2=1$x_2=1$，x4=0$x_4=0$，那么方程组
  Ux=0$Ux=0$ <=> {x1+2x2+2x3+2x4=02x3+4x4=0$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2+2x_3+2x_4=0\\ 2x_3+4x_4=0\end{array}$变为{x1+2+2x3+0=02x3+0=0$\{\begin{array}{l}{x}_1+2+2x_3+0=0\\ 2x_3+0=0\end{array}$，
  解得{x1=−2x3=0$\{\begin{array}{l}{x}_1=-2\\ x_3=0\end{array}$。

  假设给定x2=0$x_2=0$，x4=1$x_4=1$，那么方程组变为{x1+0+2x3+2=02x3+4=0$\{\begin{array}{l}{x}_1+0+2x_3+2=0\\ 2x_3+4=0\end{array}$，
  解得{x1=2x3=−2$\{\begin{array}{l}{x}_1=2\\ x_3=-2\end{array}$。

• 现在我们有了两个解向量⎛⎝⎜⎜⎜⎜−2100⎞⎠⎟⎟⎟⎟$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$，⎛⎝⎜⎜⎜⎜20−21⎞⎠⎟⎟⎟⎟$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right)$。这两个向量被称为special solutions 特殊解。special 特殊之处在于给自由变量分配的special numbers 特殊值（0、1）。通过取两个特殊解的所有线性组合，即构造出了整个零空间。那么特殊解的数量有多少呢？每个自由变量对应一个特殊解。而秩（r$r$）表示主变量的个数，列数减去秩（n−r$n-r$）就是自由变量的个数。

  • 现在U$U$是阶梯型矩阵，我们来将其进一步简化为reduced row echelon form 简化行阶梯形式R$R$，向上消元，将主元上下全变为 0，并简化为 1。
    
• R$R$以最简形式包含了所有信息：主元，主行，主列，以及一个单位阵（位于主行和主列交汇处）。现在我们求解Rx=0$Rx=0$ <=> {x1+2x2−2x4=0x3+2x4=0$\{\begin{array}{l}{x}_1+2x_2-2x_4=0\\ x_3+2x_4=0\end{array}$（从Ax=0$Ax=0$到Ux=0$Ux=0$到Rx=0$Rx=0$，消元不改变解）。

• 当我们给自由变量分配特殊值并回代后，主列构成的单位阵 I=(1001)$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，自由列构成的部分 F=(20−22)$F=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 0& 2\end{array}\right)$，恰能构成两个特殊解（符号相反）：⎛⎝⎜⎜⎜⎜−2100⎞⎠⎟⎟⎟⎟$\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$⎛⎝⎜⎜⎜⎜20−21⎞⎠⎟⎟⎟⎟$\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ -2\\ 1\end{array}\right)$。

  • 抽象一点来证明上述的结论：假设有简化行阶梯形式矩阵R=(I0F0)$R=\left(\begin{array}{cc}I& F\\ 0& 0\end{array}\right)$，主列在前，自由列在后，下面是一些零行。I$I$是r×r$r\times r$矩阵，有r$r$个主元，n−r$n-r$个自由列。

• 要满足Rx=0$Rx=0$，首先要找到一个null space matrix 零空间矩阵（N(A)$N(A)$），使得RN=0$RN=0$，N$N$的各列由特殊解组成。那么易看出N=(−FI)$N=\left(\begin{array}{c}-F\\ I\end{array}\right)$，I$I$放在自由变量部分，−F$-F$放在主变量部分。

• 再给出另一个例子把这个算法过一遍。

  已知矩阵A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜1222246836810⎞⎠⎟⎟⎟⎟$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 4& 6\\ 2& 6& 8\\ 2& 8& 10\end{array}\right)$，消元至U=⎛⎝⎜⎜⎜⎜100022003200⎞⎠⎟⎟⎟⎟$U=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 2& 2\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，可得r=2$r=2$，2列主列，1列自由列。继续消元至R=⎛⎝⎜⎜⎜⎜100001001100⎞⎠⎟⎟⎟⎟$R=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，可得I=(1001)$I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$，F=(11)$F=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$。则A$A$的零空间N(A)=c⎛⎝⎜⎜−1−11⎞⎠⎟⎟$N(A)=c\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right)$（c$c$为常数）。回代Ax=0$Ax=0$验证无误。