麻省理工大学线性代数导论笔记 - Lecture 1 方程组的几何解释

学习视频来源：麻省理工公开课_线性代数导论 讲师：Gilbert Strang
http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html

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Lecture 1 方程组的几何解释

例一：2×2矩阵

{2x−y=0−x+2y=3$\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ -x+2y=3\end{array}$

• Row Picture 行图像

  每一行都是一个方程，求解如2x−y=0$2x-y=0$ ，即作出满足此方程的所有点。两条直线的交点就是方程的解。
  

• Column Picture 列图像（重要）

  x(2−1)$x\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$ +y(−12)$y\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$ =(03)$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$

  贯穿课程始终的基本方法，就是找到正确的 Linear Combination 线性组合 x(2−1)+y(−12)$x\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right)$ ，组合的结果会得到任意的右侧向量。这两个向量的组合会布满整个坐标平面。
  

• Matrix Form 矩阵形式

  (2−1−12)$\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right)$(xy)$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ = (03)$\left(\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right)$ <=> AX=b$AX=b$

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例二：3×3矩阵

⎧⎩⎨⎪⎪2x−y=0−x+2y−z=−1−3y+4z=4$\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ -x+2y-z=-1\\ -3y+4z=4\end{array}$

• Row Picture 行图像

  每一行都是三维空间的一个平面。三个平面不平行，也不特殊，它们必定相交于一点，这就是解。
  

• Column Picture 列图像（重要）

  x⎛⎝⎜⎜2−10⎞⎠⎟⎟$x\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\end{array}\right)$ +y⎛⎝⎜⎜−12−3⎞⎠⎟⎟$y\left(\begin{array}{c}-1\\ 2\\ -3\end{array}\right)$+z⎛⎝⎜⎜0−14⎞⎠⎟⎟$z\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$ =⎛⎝⎜⎜0−14⎞⎠⎟⎟$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$

• Matrix Form 矩阵形式

  ⎛⎝⎜⎜2−10−12−30−14⎞⎠⎟⎟$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -3& 4\end{array}\right)$⎛⎝⎜⎜xyz⎞⎠⎟⎟$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ = ⎛⎝⎜⎜0−14⎞⎠⎟⎟$\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 4\end{array}\right)$<=> AX=b$AX=b$

  如果保持左侧矩阵A$A$不变，考虑不同的右侧向量b$b$。这样一来，行图像中的三个平面都要改变，而列图像中的三列并没有变化，但需要重新组合。

  那么不管b$b$是多少，是否都能求解方程？

  这等价于代数问题：对任意b$b$，是否都能求解AX=b$AX=b$？如果有，那么用Elimination 消元法（将在下节讲述），就能解出来。

  用线性组合的语言来问这个问题：列的线性组合是否能覆盖整个三维空间？

  对例二来说，答案是yes。A$A$是non-singular matrix 非奇异矩阵，是invertible matrix 可逆矩阵。

  而如果A$A$的三个列向量正好处于同一平面，那么答案将会是no。假如列3是列1和列2之和，不管怎么组合，都得不出它们平面以外的向量。所能得到的b$b$，必然处于这个平面内。这种情形成为singular case 奇异，矩阵A$A$并非可逆的。将列空间扩展到更高的维度也是如此。