Messiel Lahmer 质数筛法

目的: 求 1 1 1到 n n n的质数和
本文设定: n = 20 n=20 n=20

1. 求出 ⌊ n i ⌋ \lfloor\frac{n}{i}\rfloor ⌊in​⌋的所有取值
   ⌊ 20 i ⌋ = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 20 } \lfloor\frac{20}{i}\rfloor=\{1,2,3,4,5,6,10,20\} ⌊i20​⌋={1,2,3,4,5,6,10,20}

2. 排除数字 1 1 1, 并假设所有数字都是质数

3. 求出 ⌊ n ⌋ \lfloor\sqrt{n}\rfloor ⌊n ​⌋以内的所有质数
   ⌊ 20 ⌋ = 4 \lfloor\sqrt{20}\rfloor=4 ⌊20 ​⌋=4以内的质数有数字 2 2 2和 3 3 3

4. 使用第一个质数 2 2 2进行筛法

5. 用 ⌊ 20 2 ⌋ = 10 \lfloor\frac{20}{2}\rfloor=10 ⌊220​⌋=10筛 20 20 20
   得到
   

6. 用 ⌊ 10 2 ⌋ = 5 \lfloor\frac{10}{2}\rfloor=5 ⌊210​⌋=5筛 10 10 10
   得到
   

7. 用 ⌊ 6 2 ⌋ = 3 \lfloor\frac{6}{2}\rfloor=3 ⌊26​⌋=3筛 6 6 6
   得到
   

8. 用 ⌊ 5 2 ⌋ = 2 \lfloor\frac{5}{2}\rfloor=2 ⌊25​⌋=2筛 5 5 5
   

9. 用 ⌊ 4 2 ⌋ = 2 \lfloor\frac{4}{2}\rfloor=2 ⌊24​⌋=2筛 4 4 4
   

10. ⌊ 3 2 ⌋ = 1 \lfloor\frac{3}{2}\rfloor=1 ⌊23​⌋=1，此时已经小于质数 2 2 2，不需要进行任何操作了

11. 使用第二个质数 3 3 3进行筛法，注意：不要使用到比 3 3 3更小的质数 2 2 2

12. 用 ⌊ 20 3 ⌋ = 6 \lfloor\frac{20}{3}\rfloor=6 ⌊320​⌋=6筛 20 20 20
    得到
    

13. 用 ⌊ 10 3 ⌋ = 3 \lfloor\frac{10}{3}\rfloor=3 ⌊310​⌋=3筛 10 10 10
    得到
    

14. ⌊ 6 3 ⌋ = 2 \lfloor\frac{6}{3}\rfloor=2 ⌊36​⌋=2，此时已经小于质数 3 3 3，不需要进行任何操作了

15. 至此，得到了 20 20 20以内的质数和为 77 77 77

思考:

• 步骤1中，为什么选择 ⌊ n i ⌋ \lfloor\frac{n}{i}\rfloor ⌊in​⌋
• 步骤2中，为什么需要排除数字 1 1 1，包括 ⌊ n n ⌋ = 1 \lfloor\frac{n}{n}\rfloor=1 ⌊nn​⌋=1和质数表中的数字 1 1 1
• 步骤3中，为什么仅使用 ⌊ n ⌋ \lfloor\sqrt{n}\rfloor ⌊n ​⌋以内的所有质数
• 步骤10和14中，为什么小于当前质数就停止循环
• 步骤11中，为什么不要使用到比当前质数更小的所有质数
• 为什么这个筛法能得到正确的答案，其复杂度是多少
• 除了能够求出质数的前缀和，还可以使用该算法计算什么
• 你能写出代码来吗