质数筛法

基本定义

质数，也称素数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

一、试除法

简单而暴力，查看\(i(2\leq i\leq N)\)是否整除\(n,\)时间复杂度为\(O(\sqrt n)，\)相对来说比较低效

bool is_prime(int n) {
    if (n < 2) return false;
    for(int i = 2; i <= sqrt(n); i++)
        if (n % i == 0) return false;
    return true;
}

二、埃式筛法

全称埃拉托斯特尼筛法\(（Eratosthenes筛法）\)，是个和欧几里得辗转相除一样古老的算法。
合数可以表示成一个自然数和一个素数的乘积，因此我们找到一个素数后，我们要做的就是把他小于\(n\)的倍数全部标记为合数。时间复杂度为\(O(nloglogn)，\)许多合数被无意义地标记了许多次，降低了效率。
该算法实现简单，效率已经非常接近于线性，是算法竞赛中最常用的质数筛法。

int Eratosthenes(int n) {
    int w = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = 1;
    is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        if (is_prime[i]) {
            prime[w++] = i;
	    //2到i - 1的倍数我们之前筛过了，直接从i的倍数开始，提高了运行速度
	    for (int j = i * i; j <= n; j += i)
	    	is_prime[j] = 0;
	    }
    return w;
}

三、欧拉筛法

也称\(Euler\)筛法，能够让所有合数只被标记一次，时间复杂度被降到\(O(n)\)。
同时，可以利用欧拉筛法顺带求出欧拉函数。
对于质数\(p：\)

\[\left\{ \begin{array}{**lr**} φ(p)=p-1\\ φ(i*p)=p*φ(i)&{i\mid p}\\ φ(i*p)=φ(i)*(p-1)&{i\nmid p} \end{array} \right. \]

void init() {
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i < MAXN; ++i) {
        if (!vis[i]) {
            phi[i] = i - 1;
	    pri[cnt++] = i;
	}
        for (int j = 0; j < cnt; ++j) {
            if (1ll * i * pri[j] >= MAXN) break; // 关键地方，保证了每个数最多被筛一次，将时间复杂度降到了线性。 
	    vis[i * pri[j]] = 1;
	    if (i % pri[j]) phi[i * pri[j]] = phi[i] * (pri[j] - 1);
	    else { //  i 之前被 pri[j] 筛过了
	    //  i 乘上其他的质数的结果一定会被 pri[j] 的倍数筛掉，所以这里直接 break 掉就好了
	        phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
	        break;
	    }
        }
    }
}