信号与系统：第二章 线性时不变系统

原文链接：https://littlefish33.cn/SignalAndSystem/chapter2

• 第二章 线性时不变系统 Linear Time-invariant System
  • 离散时间线性时不变系统：卷积和(Discrete-time LTI System: The Convolution Sum)
    • 用脉冲表示的离散时间信号(The representation of discrete-time signals)
    • 系统的离散信号的卷积和表示(The Convolution-Sum Representation of LTI System LTI)
  • 连续时间线性时不变系统：卷积积分(Continuous-Time LTI System: The Convolution Integral)
    • 用冲激表示的连续时间信号
    • 连续时间线性时不变系统的单位冲激响应和卷积积分表示
    • 卷积的计算
  • 卷积的性质
  • LTI 系统的性质
    • 有记忆和无记忆(LTI System with and without Memory )
    • 可逆性(Invertibility of LTI System )
    • 因果性(Causality of LTI System)
    • 稳定性(Stability for LTI System)
  • 奇异函数(Singularity Function)
    • 作为理想化短脉冲的单位冲激(The Unit Impulse as an Idealized Short Pulse)
    • 通过卷积定义单位冲激(Define the Unit Impulse through Convolution)
    • 单位冲激偶和其他奇异函数(Unit Doublets and Other Singularity Functions)
    • 单位冲激积分(Derivatives of different orders of unit impulse)
  • 用微分和差分方程描述的因果LTI系统(Causal LTI System described by Differential and different Equation)
    • 线性常系数微分方程(Linear Constant-coefficient Differential Equation)
    • 线性常系数差分方程(Linear Constant-coefficient Difference Equation)
    • 用方框图表示一阶系统

第二章 线性时不变系统 Linear Time-invariant System

假设一个线性时不变系统：fi(t)→yi(t),i=1,2,...$f_i(t)\to y_i(t),i=1,2,...$

假设有f(t)=∑ni=1aifi(t−ti)$f(t)=\sum _{i=1}^n{a}_i{f}_i(t-t_i)$，因为线性时不变，故有响应y(t)=∑ni=1aiyi(t−ti)$y(t)=\sum _{i=1}^n{a}_i{y}_i(t-t_i)$

离散时间线性时不变系统：卷积和(Discrete-time LTI System: The Convolution Sum)

用脉冲表示的离散时间信号(The representation of discrete-time signals)

x[n]=...+x[−1]δ[n+1]+x[0]δ[n]+x[1]δ[n−1]+...$$x[n]=...+x[-1]\delta [n+1]+x[0]\delta [n]+x[1]\delta [n-1]+...$$

x[n]=∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k]$$x[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]\delta [n-k]$$

将离散时间信号当成一串单个脉冲，称为离散时间单位脉冲序列的筛选性质（sifting）

系统的离散信号的卷积和表示(The Convolution-Sum Representation of LTI System LTI)

δ[n]→h[n]$$\delta [n]\to h[n]$$

δ[n−k]→h[n−k](time invariance)$$\delta [n-k]\to h[n-k](timeinvariance)$$

x[k]δ[n−k]→x[k]h[n−k](homogeneous)$$x[k]\delta [n-k]\to x[k]h[n-k](homogeneous)$$

∑k=−∞+∞x[k]δ[n−k]→∑k=−∞+∞x[k]h[n−k](additivity)$$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]\delta [n-k]\to \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k](additivity)$$

y[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]=x[n]⋆h[n]$$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]=x[n]\star h[n]$$

我们用x[n]⋆y[n]$x[n]\star y[n]$表示∑+∞−∞x[k]h[n−k]$\sum _{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]$，称为卷积和

系统在n$n$时刻的输出包含所有时刻输入脉冲的影响，即对于输出y[n]$y[n]$，输出在n0$n_0$时刻的值y[n0]$y[n_0]$包含所有时刻输入脉冲的影响：y[n0]=∑+∞k=−∞x[k]h[n0−k]$y[n_0]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n_0-k]$

h[n]$h[n]$也被称为系统的零状态响应

卷积和的计算：

1. 利用定义：

eg：

x[n]=αn⋅u[n],h[n]=u[n]$x[n]={\alpha }^n\cdot u[n],h[n]=u[n]$，求x[n]⋆h[n]$x[n]\star h[n]$

x[n]⋆h[n]=∑+∞k=−∞x[k]h[n−k]$x[n]\star h[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]$

                  =∑+∞k=0αku[k]u[n−k]$=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{\alpha }^{k}u[k]u[n-k]$

                  =∑nk=0αk,(n≥0)$=\sum _{k=0}^n{\alpha }^k,(n\ge 0)$

1. 图解法

   （1）反折：h[n]⇒h[k]→h[−k]$h[n]\Rightarrow h[k]\to h[-k]$

   （2）平移：⇒h[n−k]$\Rightarrow h[n-k]$（n大于0是右移，n小于0是左移）

   （3）x[k]h[n−k]$x[k]h[n-k]$对于每一个不同的n求积

   （4）对于每一个n求和：x[n]⋆h[n]=∑+∞k=−∞x[k]h[n−k]$x[n]\star h[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]$

连续时间线性时不变系统：卷积积分(Continuous-Time LTI System: The Convolution Integral)

用冲激表示的连续时间信号

δ(t)=limΔ→0δΔ(t)$$\delta (t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}{\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$$

x^(t)=∑k=−∞+∞x(kΔ)δΔ(t−kΔ)⋅Δ$$\hat{x}(t)=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\cdot \mathrm{\Delta }$$

x(t)=limΔ→0x^(t)$$x(t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}\hat{x}(t)$$

x(t)=∫+∞−∞x(τ)δ(t−τ)dτ    (∗)$$x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )\delta (t-\tau )d\tau (\ast )$$

（∗）$（\ast ）$即为连续时间信号的冲激表现形式

下面通过上面的冲激表现形式来得出连续时间信号通过LTI系统的响应

连续时间线性时不变系统的单位冲激响应和卷积积分表示

δΔ(t)→hΔ(t)$${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)\to h_{\mathrm{\Delta }}(t)$$

δΔ(t−kΔ)→hΔ(t−kΔ)(time invariance)$${\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\to h_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })(timeinvariance)$$

x(kΔ)δΔ(t−kΔ)→x(kΔ)hΔ(t−kΔ)(homogeneous)$$x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\to x(k\mathrm{\Delta })h_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })(homogeneous)$$

∑k=−∞+∞x(kΔ)δΔ(t−kΔ)⋅Δ→∑k=−∞+∞x(kΔ)hΔ(t−kΔ)⋅Δ(additivity)$$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta }){\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\cdot \mathrm{\Delta }\to \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(k\mathrm{\Delta })h_{\mathrm{\Delta }}(t-k\mathrm{\Delta })\cdot \mathrm{\Delta }(additivity)$$

y(t)=∫+∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ=x(t)⋆h(t)$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau =x(t)\star h(t)$$

同理，反映的是所有时刻作用于系统的冲激在t$t$时刻产生响应的加权积分，加权因子由输入信号x(τ)$x(\tau )$控制

所以，若一个LTI系统有δ(t)→h(t)$\delta (t)\to h(t)$，故对于一个x(t)$x(t)$的输入，输出y(t)=x(t)⋆h(t)$y(t)=x(t)\star h(t)$，我们称它为卷积积分（The Convolution Integral）

卷积的计算

（以后也可以通过傅里叶变换，拉普拉斯变换求卷积积分）

1. 利用定义：

eg：

x(t)=e−at⋅u(t),a>0,h(t)=u(t)$x(t)=e^{-at}\cdot u(t),a>0,h(t)=u(t)$，试求h(t)⋆x(t)$h(t)\star x(t)$

h(t)⋆x(t)=∫+∞−∞e−aτ⋅u(τ)⋅u(t−tau)dτ={∫t0e−aτdτ0t≥0t<0$h(t)\star x(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-a\tau }\cdot u(\tau )\cdot u(t-tau)d\tau =\{\begin{array}{ll}{\int }_0^t{e}^{-a\tau }d\tau & t\ge 0\\ 0& t<0\end{array}$

即：h(t)⋆x(t)=1a(1−e−at)u(t)$h(t)\star x(t)=\frac{1}{a}(1-e^{-at})u(t)$

1. 图解法：

卷积的性质

1. The Commutative Property 交换律

x(t)⋆h(t)=h(t)⋆x(t)$$x(t)\star h(t)=h(t)\star x(t)$$

x[n]⋆h[n]=h[n]⋆x[n]$$x[n]\star h[n]=h[n]\star x[n]$$

1. The distributive Property 分配率

x(t)⋆{h1(t)+h2(t)}=x(t)⋆h1(t)+x(t)⋆h2(t)$$x(t)\star \{h_1(t)+h_2(t)\}=x(t)\star h_1(t)+x(t)\star h_2(t)$$

x[n]⋆{h1[n]+h2[n]}=x[n]⋆h1[n]+x[n]⋆h2[n]$$x[n]\star \{h_1[n]+h_2[n]\}=x[n]\star h_1[n]+x[n]\star h_2[n]$$

1. The Associative Property 结合律

x(t)⋆{h1(t)⋆h2(t)}={x(t)⋆h1(t)}⋆h2(t)$$x(t)\star \{h_1(t)\star h_2(t)\}=\{x(t)\star h_1(t)\}\star h_2(t)$$

x[n]⋆{h1[n]⋆h2[n]}={x[n]⋆h1[n]}⋆h2[n]$$x[n]\star \{h_1[n]\star h_2[n]\}=\{x[n]\star h_1[n]\}\star h_2[n]$$

这里的（a）（b）（c）（d）是等价的

1. 含有冲激的卷积（△$\mathrm{△}$）

   1. x(t)⋆δ(t)=x(t)$x(t)\star \delta (t)=x(t)$

      x[n]⋆δ[n]=x[n]$x[n]\star \delta [n]=x[n]$

      x(t)⋆δ(t−t0)=x(t−t0)$x(t)\star \delta (t-t_0)=x(t-t_0)$

      x[n]⋆δ[n−n0]=x[n−n0]$x[n]\star \delta [n-n_0]=x[n-n_0]$

   2. 若y(t)=x(t)⋆h(t)$y(t)=x(t)\star h(t)$，则x(t−t1)⋆h(t−t2)=y(t−t1−t2)$x(t-t_1)\star h(t-t_2)=y(t-t_1-t_2)$

   由此可见，将某些信号变成冲激的形式，可以极大的化简卷积的计算过程，通过微分使如方波，线性函数变成冲激形式

2. 卷积的微分、积分性质

   1. 微分：y(t)=x(t)⋆h′(t)=x′(t)⋆h(t)$y(t)=x(t)\star h^{\prime }(t)=x^{\prime }(t)\star h(t)$

   2. 积分：y(−1)(t)=x(t)⋆h(−1)(t)=x(−1)(t)⋆h(t)$y^{(-1)}(t)=x(t)\star h^{(-1)}(t)=x^{(-1)}(t)\star h(t)$

   3. 推广：yn(t)=x(t)⋆hn(t)=xn(t)⋆h(t)$y^n(t)=x(t)\star h^n(t)=x^n(t)\star h(t)$

      ​ ym+n(t)=xm(t)⋆hn(t)=xm(t)⋆hn(t)$y^{m+n}(t)=x^m(t)\star h^n(t)=x^m(t)\star h^n(t)$

LTI 系统的性质

有记忆和无记忆(LTI System with and without Memory )

1. y[n]=x[n]⋆h[n]=∑+∞k=−∞x[k]h[n−k]$y[n]=x[n]\star h[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]$

   无记忆：h[n−k]=0,k≠n⇒h[n]=0,n≠0$h[n-k]=0,k\ne n\Rightarrow h[n]=0,n\ne 0$

2. y(t)=x(t)⋆h(t)=∫+∞−∞x(τ)h(t−τ)dτ$y(t)=x(t)\star h(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

   无记忆：h(t−τ)=0,τ≠t⇒h(t)=0,t≠0$h(t-\tau )=0,\tau \ne t\Rightarrow h(t)=0,t\ne 0$

可逆性(Invertibility of LTI System )

因果性(Causality of LTI System)

1. 离散时间系统

y[n]=∑k=−∞+∞x[k]h[n−k]=∑k=−∞nx[k]h[n−k]+∑k=n+1+∞x[k]h[n−k]$$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{n}x[k]h[n-k]+\sum _{k=n+1}^{+\mathrm{\infty }}x[k]h[n-k]$$

当k>n$k>n$时，h[n−k]=0⇒h[n]=0,n<0$h[n-k]=0\Rightarrow h[n]=0,n<0$

即如果时间信号n<0$n<0$时，h[n]=0$h[n]=0$，故为因果系统

对离散时间的因果系统来讲，它的单位脉冲响应必然是因果的

1. 同理，对连续时间系统有：h(t)=0,t<0$h(t)=0,t<0$

稳定性(Stability for LTI System)

1. 离散时间系统

|x[n]|<M⇒|y[n]|<B$$|x[n]|<M\Rightarrow |y[n]|<B$$

|y[n]|=|∑k=−∞+∞x[n−k]h[k]|≤∑k=−∞+∞|x[n−k]|⋅|h[k]|≤M⋅∑k=−∞+∞|h[k]|<B$$|y[n]|=|\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x[n-k]h[k]|\le \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|x[n-k]|\cdot |h[k]|\le M\cdot \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h[k]|<B$$

即如果一个系统是有界的，那么用于描述这个系统的单位脉冲的响应的累计有界，即：

∑k=−∞+∞|h[k]|<∞$$\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h[k]|<\mathrm{\infty }$$

1. 同理，对连续时间系统有：∫+∞−∞|h(t)|<∞${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|h(t)|<\mathrm{\infty }$

奇异函数(Singularity Function)

作为理想化短脉冲的单位冲激(The Unit Impulse as an Idealized Short Pulse)

δ(t)=limΔ→0δΔ(t)$\delta (t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}{\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$

δ(t)=limΔ→0rΔ(t)$\delta (t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}{r}_{\mathrm{\Delta }}(t)$

δ(t)=limΔ→0rΔ(t)⋆δΔ(t)$\delta (t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}{r}_{\mathrm{\Delta }}(t)\star {\delta }_{\mathrm{\Delta }}(t)$

δ(t)=limΔ→0rΔ(t)⋆rΔ(t)$\delta (t)=\underset{\mathrm{\Delta }\to 0}{lim}{r}_{\mathrm{\Delta }}(t)\star r_{\mathrm{\Delta }}(t)$

这些都可以用来表示单位冲激信号，只要持续时间宽度足够短，在这个意义来讲完全等价

通过卷积定义单位冲激(Define the Unit Impulse through Convolution)

1. 若对于∀x(t)$\mathrm{\forall }x(t)$，都有x(t)⋆φ(t)=x(t)$x(t)\star \phi (t)=x(t)$，则φ(t)=δ(t)$\phi (t)=\delta (t)$，δ(t)$\delta (t)$为单位冲激信号

2. 通过筛选性质定义：

   对于任意x(t)$x(t)$，x(t)$x(t)$在t=0$t=0$时是连续的，若∫+∞−∞x(t)⋅φ(t)dt=x(t)⇒φ(t)=δ(t)${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)\cdot \phi (t)dt=x(t)\Rightarrow \phi (t)=\delta (t)$，δ(t)$\delta (t)$为单位冲激信号

单位冲激偶和其他奇异函数(Unit Doublets and Other Singularity Functions)

1. 单位冲激偶：u1(t)=dδ(t)dt$u_1(t)=\frac{d\delta (t)}{dt}$，可以看做是一个信号在同一时刻两个相反的两个冲激，面积为0；也可以看成一个微分器的单位冲激响应

   

2. k阶冲激偶：uk(t)=dkδ(t)dtk$u_k(t)=\frac{d^k\delta (t)}{d{t}^k}$

3. ∫+∞−∞φ(t)u1(t)dt=−φ′(0)${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\phi (t)u_1(t)dt=-{\phi }^{\prime }(0)$

   ∫+∞−∞φ(t)uk(t)dt=(−1)kdkφ(t)dtk|t=0${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\phi (t)u_k(t)dt=(-1{)}^k\frac{d^k\phi (t)}{d{t}^k}{|}_{t=0}$

4. 冲激偶的性质：

   • ∫+∞−∞u1(t)dt=0${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{u}_1(t)dt=0$
   • u1(−t)=−u1(t)$u_1(-t)=-u_1(t)$，k为奇数，为奇函数；k为偶数，为偶函数
   • φ(t)u1(t)=φ(0)u1(t)−φ′(0)δ(t)$\phi (t)u_1(t)=\phi (0)u_1(t)-{\phi }^{\prime }(0)\delta (t)$

单位冲激积分(Derivatives of different orders of unit impulse)

u−k(t)=u−1(t)⋆u−1(t)⋅⋅⋅u−1(t)$$u_{-k}(t)=u_{-1}(t)\star u_{-1}(t)\cdot \cdot \cdot u_{-1}(t)$$

u−2(t)=u−1(t)⋆u−1(t)=∫t−∞u(τ)dτ=tu(t)$u_{-2}(t)=u_{-1}(t)\star u_{-1}(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}u(\tau )d\tau =tu(t)$，被称为单位斜波函数（unit ramp functions）

用微分和差分方程描述的因果LTI系统(Causal LTI System described by Differential and different Equation)

线性常系数微分方程(Linear Constant-coefficient Differential Equation)

∑Nk=0akdky(t)dtk=∑Mk=0bkdkx(t)dtk$\sum _{k=0}^N{a}_k\frac{d^{k}y(t)}{d{t}^k}=\sum _{k=0}^M{b}_k\frac{d^{k}x(t)}{d{t}^k}$

y(t)=yx(t)+yf(t)$y(t)=y_x(t)+y_f(t)$

yx(t)$y_x(t)$ 零输入响应，yf(t)$y_f(t)$ 零状态响应

线性常系数差分方程(Linear Constant-coefficient Difference Equation)

∑Nk=0aky[n−k]=∑Mk=0bkx[n−k]$\sum _{k=0}^N{a}_{k}y[n-k]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}x[n-k]$

用方框图表示一阶系统

1. 对于离散时间系统：

eg：y[n]+ay[n−1]=b[n]$y[n]+ay[n-1]=b[n]$

1. 对于连续时间信号：

eg：对于dy(t)dt=bx(t)−ay(t)$\frac{dy(t)}{dt}=bx(t)-ay(t)$

然而因为微分器实现困难，而且对于噪声和误差极为灵敏，因此我们常常将上式改写为：y(t)=∫t−∞[bx(t)−ay(t)]dt$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^t[bx(t)-ay(t)]dt$