【算法】蛮力法

前言

概念

蛮力法(brute force)：直接基于问题的描述和所涉及的概念定义的进行算法设计，简单而直接。

蛮力法应用特点

1. 蛮力法所能解决的问题跨越的领域非常广泛。
2. 对于一些重要的问题，运用蛮力策略可以设计出具备一定实用价值的算法，并且不用限制实例的规模。
3. 当要解决的问题实例不多并且可以接受蛮力法的运算速度时，蛮力法的设计代价通常较为低廉。
4. 蛮力算法可以作为衡量其它算法的准绳，服务于研究或教学。

枚举法

算法框架

1. 依据问题，设定枚举范围；
2. 找出约束条件，建立计算模型；
3. 利用计算模型在枚举范围内搜索可能的解。

例题1

输入n个数字(在0与9之间)，然后统计出这组数中相邻两个数字组成的链环数字对出现的次数。如：n=20,输入为0 1 5 9 8 7 2 2 2 3 2 7 8 7 8 7 9 6 5 9，则输出为（7，8）=2，（8，7）=3，（7，2）=1，（2，7）=1，（2，2）=2，（2，3）=1，（3，2）=1。

问题分析

可以利用一个二维数组$a[10][10]$a[10][10]存储出现的数字队。
首先，将二维数组初始化$a[i][j] = 0 \quad(0\leq i<10,\leq j<10)$a[i][j]=0(0≤i<10,≤j<10)
然后，每输入一个数字对，则把对应下标的数组元素加1，如数据输入的序列为$x$x，则$a[x_k][x_{k+1}] = a[x_k][x_{k+1}]+1$a[xk​][xk+1​]=a[xk​][xk+1​]+1
如题目中的例子可以构建出如下的二维数组：

计算模型

输入序列：$x$x
初始化：$a[i][j] = 0 \quad(0\leq i<10,\leq j<10)$a[i][j]=0(0≤i<10,≤j<10)
$a[x_k][x_{k+1}] = a[x_k][x_{k+1}] +1 \quad 0 \leq k <n$a[xk​][xk+1​]=a[xk​][xk+1​]+10≤k<n
最后，统计完毕后，输出a

算法设计与描述

算法分析

例题2

解数字谜，如下

问题分析

一共可以采用三种方式

1. 枚举测试：五位数的范围为30000-99999。时间复杂度为99999-30000 + 1 = 70000次
2. 采用构造式的枚举法：A取值从3-9，B-C取值0-9。时间复杂度为71010 = 700
3. 构造式的枚举法——除法：D的值从1-9，而A的取值仍然从3-9。两重循环，时间复杂度为7*9=63。

计算模型

主要针对第三种进行分析
设$A_i\in [3,9],D_j \in [1,9]$Ai​∈[3,9],Dj​∈[1,9]
$\left\{ \begin{array}{lr} D = D_j*10^5 +\dots +D_j & \\ D \;mod\; A_i == 0&上一步算得的D可以被A_i整除\\ S_i = D/A_i & \\ B_1 = S_i\; mod\; 10& \\ A_1 = (S_i/10) \; mod \;10\\ C = (S_i/10^2) \; mod \;10\\ B_2 = (S_i/10^3)\; mod\; 10& \\ A_2 = (S_i/10^4) \; mod \;10\\ \end{array} \right.$⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​D=Dj​∗105+⋯+Dj​DmodAi​==0Si​=D/Ai​B1​=Si​mod10A1​=(Si​/10)mod10C=(Si​/102)mod10B2​=(Si​/103)mod10A2​=(Si​/104)mod10​上一步算得的D可以被Ai​整除​
判断$D$D是否可以被$A_i$Ai​整除，$A_1$A1​与$A_2$A2​是否相等，$B_1$B1​和$B_2$B2​是否相等，上述条件均成立，则找到一个解。

算法设计与描述

输出：五位数ABCAB，六位数DDDDDD

例题3

输出玫瑰矩阵，其为n*n的方阵，特征如下所示对应下标的数组元素加1

问题分析

设矩阵为$a[n,n]$a[n,n]可以采用两种思路

1. 用$i$i代表圈数（从0开始），j代表圈内下标变化量：
   $\left\{ \begin{array}{lr} a[j,i]\gets k & k\gets k+1& j\gets j+1&左侧\\ a[n-i-1,j]\gets k & k\gets k+1& j\gets j+1&底侧\\ a[j,n-i-1]\gets k & k\gets k+1& j\gets j-1&右侧\\ a[i,j]\gets k & k\gets k+1& j\gets j-1&顶侧\\ \end{array} \right.$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​a[j,i]←ka[n−i−1,j]←ka[j,n−i−1]←ka[i,j]←k​k←k+1k←k+1k←k+1k←k+1​j←j+1j←j+1j←j−1j←j−1​左侧底侧右侧顶侧​
   若n为奇数，还需要最后处理，令$a[(n-1)/2,(n-1)/2] = n^2$a[(n−1)/2,(n−1)/2]=n2
2. 可以看出每半圈元素值增长规律变换一次
   设增量$t = 1$t=1，每半圈变换一次$t \gets -t$t←−t
   设矩阵边长为i，每半圈的元素就是$2*i-1$2∗i−1个，$hc$hc为半圈内计数变量，$0\leq hc<2*i-1$0≤hc<2∗i−1，前1/4圈是$0\leq hc<i$0≤hc<i，后1/4圈是$i\leq hc<2*i-1$i≤hc<2∗i−1。
   其中$i$i从$n$n开始变换，每过半圈 $i = i-1$i=i−1

计算模型

算法设计与描述

算法分析

穷举查找

有一些求最优解的问题经过抽象，可以转换为组合优化问题，使用蛮力法来求解是一种简单的方法，称之为穷举查找（exhaustive search）。

例题4

旅行商问题(traveling salesman problem，TSP) 有一个旅行商由某市出发，经过所有给定的n个城市后，再回到出发的城市。除了出发的城市外，其它城市只经过一回。这样的回路可能有多个，求其中路径成本最小的回路。

问题分析

给出一个问题实例，如下

可以通过遍历a - d的全排列来实现问题求解。

计算模型

1. 存储 利用图G(V,E)。边以临界矩阵形式存储，如下
   
2. 计算 列出所有路径
   a - b - c - d - a
   a - b - d - c - a
   a - c - b - d - a
   a - c - d - b - a
   a - d - b - c - a
   a - d - c - b - a
3. 计算路径代价
   

算法设计与描述

算法分析

$T(n)=\sum_{i=0}^{n-1}T(i+1)+C$T(n)=i=0∑n−1​T(i+1)+C

例题5

背包问题。给定$n$n个重量为$w_1, w_2,…w_n$w1​,w2​,…wn​，价值为$v_1, v_2,…v_n$v1​,v2​,…vn​的物品和一个承重为$W$W的背包，求将这些物品中的某些装入背包中，在不超出重量$W$W的情况下，价值最高的装法。

问题分析

计算模型

算法设计与描述

图的搜索

图的两个重要的遍历算法：深度优先查找(depth-first search, DFS)和广度优先查找(breadth-frist search, BFS)，是穷举查找的重要应用之一。

深度优先查找

广度优先查找

例题6

迷宫问题。如图所示，图中方格内标为0的为通路，标为1墙。(0,0)为迷宫入口，(7,7)为迷宫出口，请查出由(0,0)到(7,7)的路径。

问题分析

1. 存储
2. 移动

计算模型

1. 存储
   采用二维矩阵maze[n][n],进行存储
   其中maze[x][y] = 0表示通路，maze[x][y]=1表示墙，maze[x][y]=2表示死路，maze[x][y] = 3表示已经走过。
2. 行走相对路径
   行走方向：fx[]={-1,1,0,0 }，fy[]={0,0, -1,1}
   行走过程：nextx=x+fx[i]，nexty=y+fy[i]
   其中，i=0, 1, 2, 3。

算法设计与描述

算法分析

1. 迷宫矩阵：maze[n][n]
2. 依据不同的行走方向，可知$T(n, n)=T(n-1,n)+T(n+1,n)+T(n, n-1)+T(n,n+1)$T(n,n)=T(n−1,n)+T(n+1,n)+T(n,n−1)+T(n,n+1)。然而，这公式并不准确，因为墙的布局对算法的影响很大，所以，最坏情况下，所有顶点都测试过，这时，时间复杂度为
   $T(n)=O((n*n-1)*4)$T(n)=O((n∗n−1)∗4)
3. 存储空间中包括递归时的所用的栈，所以，空间复杂度至少为$O(2*n^2)$O(2∗n2)。