先引进集合的划分：给定非空集合A，若S = {S₁，S₂ ，…，Sn}，且
①Si ⊆ A，且Si ≠ Ø ， i = 1,2,…n；
②Si ∩ Sj = Ø，i ≠ j，i,j = 1,2,…n；
③S₁∪S₂∪…∪Sn = A；
则集合S称为集合A的一个划分，而S₁，S₂ ，…，Sn 称为这个划分的类或块
1. 等价关系的定义
设R是定义在非空集合A上的关系，若R具有自反性，对称性和传递性，则称R是A上的等价关系。
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2. 等价类
(1) 定义：
设R是非空集合A上的一个等价关系，∀x∈A，称【x】R = { y|y∈A ∧ <x,y>∈R}是x关于R的一个等价类，或者说由X生成的一个R等价类，其中x称为【x】R的生成元。
就是 元素a 的等价类是将 a 看成第一元素，在 R 的序偶中作为 a 的第二元素的元素的集合。
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举个栗子（这里我们只看第一问就好啦）
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(2) 等价类的特点：
① 等价类是等价关系的一个特有定义，只在 R 是等价关系时才有意义。
② 等价关系可以被分为一个个的关系圈。证明：因为等价关系的特点——具有自反性，对称性和传递性，故：假设<a,b> ，<b,c> ∈ R，则<b,a> ，<c,b>，<a,c>，<c,a> ∈ R，因为这个特点，在 【a】R 里包含了a 和 与a有二元关系的元素（如b） 和 与a有二元关系元素（如 b）也有二元关系的元素（如c）… 而这些元素有可以通过对称性和 a 建立相反的二元关系，所以这些元素都在彼此的等价类里面，被围成了一个关系圈（这个关系圈是我自己 嗯 定义的，就表示一下不要纠结这个QAQ）。
故一个等价关系里的元素可以被分类为一个个的关系圈。就比如上面那个例子，（0，4，8）（1，5，9）（2）就是三个关系圈。
而不在一个等价圈里的俩个元素不能形成在 R 中的二元关系。
③ 每个等价关系可以对应一个集合的划分。（商集那里详细讲，要用到这个等价圈）
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（3）等价类的性质
① 对于 ∀ x∈A，【x】R ≠ Ø
—— R为等价关系具有自反性，保证每个元素都在自己等价类里面。
② 对于 ∀ x，y∈ A，若y∈【x】R，则【x】R = 【y】R
——在刚刚分析的等价圈中，x 和 y 在一个同一个等价圈中。同一个等价圈中的元素的等价类是一样的。因为每个等价圈中的元素的等价圈都是这个等价圈中的所有元素，包括元素本身。所以我们上面那个例子中，每一个关系圈里的元素的等价类都是一样的。
③ 若y∉【x】R，则【x】R ∩ 【y】R = Ø
——如果 y ∉ 【x】R，则 y 和 x 不在一个等价圈里面，那他们就不在彼此的等价类中。
④ A中所有元素的等价类的并集等于A
——其实不止是等于A，A 中元素的等价类构成了集合A的划分。在商集里会展开讲解。
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3. 商集
好啦，终于到商集了。其实商集就是把所有元素的等价类用一个集合框起来而已。比如看他的定义。
（1）定义
设R是非空集合A上的等价关系，由R确定的一切等价类的集合，称为集合A上关于R的商集，记为A/R，即A/R = {【x】R|x∈A}
来个题体会一下。
（2）特点
① 商集也是等价关系特有的一个定义，他的前提就是R是一个等价关系。
② 我们上面已经说啦，商集其实就是把等价类用一个集合把它框起来，那商集作为一个集合，就必须满足集合的互异性。那些在一个等价圈里的元素的等价类是一样的，那他在商集里就只能出现一次，所以其实商集就是 R 里的每一个等价圈的并集。
③商集就是 集合A 的一个划分
终于讲到这里啦！！！我们之前讲的集合的划分，等价类，等价圈都可以在这个性质里面体现。
我们先回顾一下集合的划分这个概念。
先引进集合的划分：给定非空集合A，若S = {S₁，S₂ ，…，Sn}，且①Si ⊆ A，且Si ≠ Ø ， i = 1,2,…n；②Si ∩ Sj = Ø，i ≠ j，i,j = 1,2,…n；③S₁∪S₂∪…∪Sn = A； 则集合S称为集合A的一个划分，而S₁，S₂ ，…，Sn 称为这个划分的类或块
由定义可以知道，集合的划分就是将集合中的所有元素划分为好几个集合，这好几个集合作为元素构成了 集合 A。
我们再来回顾一下刚刚的例子，上图！
在这个题目中呀，（1，4），（2，5，8），（3）就是 R 的三个等价圈，在这些等价圈挑出所有元素其实就构成了 A 集合。所以，商集其实就是 集合A 的一个划分。
就算是极端一点，A = {1,2,3}，R = {<1,1>,<2,2>,< 3,3>}，等价圈无非就是（1），（2），（3），每个等价圈就一个元素而已，多大点事呀是不是。
④ 到了这个，我们就可以感觉出，其实每一个等价关系都可以对应一个集合的划分。
——因为集合的划分就是把集合分成了几个等价圈嘛。然后我们再细细地看看等价圈，就会惊奇地发现一个特点：每个等价圈对应元素组成的集合和自身的全关系都在 R 里呀！
好吧我们先回顾一下全关系的定义
若R = A X B，则R是A,B上的全关系
文字有点抽象，上题！
这个题目，给定了划分求等价关系。
我们上面说了，划分里的每个元素就是一个等价圈，令等价圈里的任意元素为第一元素，其他元素包括自己都必须是他在 R 里的第二元素，而其他等价圈里的元素不可以，不能，不允许作为他的第二元素。比如这里（a，b）等价圈，把 a 作为第一元素，在 R 里一定有<a,a>,<a,b>，但是一定没有<a,c>…这种第二元素在其他等价圈里的序偶。
再重复这句话，令等价圈里的任意元素为第一元素，其他元素包括自己都必须是他在 R 里的第二元素，而其他等价圈里的元素不可以，不能，不允许作为他的第二元素。如果令一个等价圈（如（a,b,c,d））的元素构成一个集合（如{a,b,c,d}）那么他的关系矩阵必定全是 1，这说明 R 在集合一个划分下的元素就是这个划分里每个集合的全关系的并集。比如上面那道题，（a，b）是一个等价圈，那 <a,b> <a,a> <b,a> <b,b> 都要在 R 里。而这四个序偶就构成了 {a，b} 的全关系。
嘤嘤嘤，我语文不太好你们看懂了吗。到这里等价关系差不多就讲完了。我上面罗里吧嗦一大堆，其实也没啥东西，看下图。
4. 等价关系的总结
欢迎大家指正和补充。