离散数学——第三章 关系

文章目录

• 第三章 关系
• 3.1.1.本章概述
• 3.2.关系
• 3.2.1关系的概念
• 3.3.2.关系的性质
• 3.3.3.关系的组成与复合
• 3.2.4.关系的表示
• 3.3.闭包(Closure)
• 3.3.1.闭包的定义
• 3.4.等价(Equivalence)
• 3.4.1.等价关系(Equivalence Relations)
• 3.4.2.等价类
• 3.4.3.划分
• 3.5.偏序(Partial order)
• 3.5.1.偏序关系与偏序集
• 3.5.2.字典序（Lexicographic Order）
• 3.5.3.哈斯图
• 3.5.4.偏序集中的元素

第三章 关系

3.1.1.本章概述

关系的定义、关系的五大性质、关系的组成和复合、关系的矩阵表示、关系图表示；
三种闭包；
等价关系、等价类、划分
偏序、字典序、哈斯图、偏序集中的特殊元素

3.2.关系

3.2.1关系的概念

• 定义：
  集合A到B的二元关系R为$A\times B$A×B的子集，用于刻画A中的元素和B中的元素的对应关系。
  关系实质上是序偶 (x,y)的集合，其中序偶的第一个元素来自集合A,第二个元素来自集合B。

• 关系与集合、函数的联系
  关系本质是集合，是序偶的集合。
  函数是特殊的关系，或者说关系使我们所熟悉的函数的拓展。因为函数要求**定义域(domain)**里面的每一个元素都有与之对应的元素，但关系不要求。

• 一个有限集合上的二元关系的个数
  $A\times A$A×A有${\vert A \vert}^2$∣A∣2个元素，也就说有${\vert A \vert}^2$∣A∣2个序偶，$A\times A$A×A这个笛卡尔积的幂集里面的元素都是一种关系，所以$A$A上共有$2^{{\vert A \vert}^2}$2∣A∣2个关系。

3.3.2.关系的性质

• 自反性(reflexive)
  定义：
  设 $R$R 为定义在集合 $X$X 上的二元关系，如果对于每个 $x\in X$x∈X ，有 $xRx$xRx ，则称二元关系 $R$R 是自反的。
  $\forall x[x\in A \rightarrow (x,x)\in R]$∀x[x∈A→(x,x)∈R]
• 反自反性(irreflexive)
  定义:
  设 $R$R 为定义在集合 $X$X 上的二元关系，如果对于每个 $x\in X$x∈X ，都有 $\langle x,x \rangle \notin R$⟨x,x⟩∈/​R ，则 $R$R 称作反自反的。
  $\forall x[x\in A \rightarrow (x,x)\notin B]$∀x[x∈A→(x,x)∈/​B]

显然，由定义可知，一个不是自反的关系，不一定就是反自反的。

• 对称性(symmetric)
  定义：
  设 $R$R 为定义在集合 $X$X 上的二元关系，如果对于每个 $x,y\in X$x,y∈X ，每当 $xRy$xRy ，就有 $yRx$yRx ，则称集合 $X$X 上关系 $R$R 是对称的。
  $\forall x \forall y[(x,y)\in R \rightarrow (y,x)\in R]$∀x∀y[(x,y)∈R→(y,x)∈R]
• 反对称性(antisymmetric)
  定义：
  设 $R$R 为定义在集合 $X$X 上的二元关系，如果对于每个 $x,y\in X$x,y∈X ，每当 $xRy$xRy 和 $yRx$yRx 必有 $x=y$x=y ，则称 $R$R 在 $X$X 上是反对称的。
  $\forall x \forall y[(x,y)\in R \wedge (y,x) \rightarrow x=y ]$∀x∀y[(x,y)∈R∧(y,x)→x=y]
• 传递性(transitive)
  定义：
  设 $R$R 为定义在集合 $X$X 上的二元关系，如果对于每个 $x,y,z\in X$x,y,z∈X ，每当 $xRy,yRz$xRy,yRz ，就有 $xRz$xRz ，则称集合 $X$X 上关系 $R$R 是传递的。
  $\forall x \forall y \forall z [(x,y)\in R \wedge (y,z)\in R \rightarrow (x,z)\in R]$∀x∀y∀z[(x,y)∈R∧(y,z)∈R→(x,z)∈R]

3.3.3.关系的组成与复合

• 关系的组成(combination)
  关系的本质是集合，故而集合的一系列运算，关系也都可以进行。
  设$R_1,R_2$R1​,R2​为两个关系，譬如，可进行下列运算。
  $R_1 \cup R_2$R1​∪R2​
  $R_1 \cap R_2$R1​∩R2​
  $R_1 - R_2$R1​−R2​ 等等。

• 关系的复合(composition)
  设 $R$R 为 $X$X 到 $Y$Y 的关系， $S$S 为从 $Y$Y 到 $Z$Z 的关系，则 $S \circ R$S∘R 称为 $S$S 和 $R$R 的复合关系，表示为$X$X到$Z$Z的关系。注意，此处关系的先后顺序，与函数的复合不一样。

• 关系自身的复合
  关系 $R$R 本身所组成的复合关系可以写成： $R \circ R,R \circ R \circ R,\cdots,\overbrace{R \circ R \circ \cdots \circ R}^n$R∘R,R∘R∘R,⋯,R∘R∘⋯∘Rn ，分别记作 $R^{2},R^{3},\cdots,R^{n}$R2,R3,⋯,Rn ，一般地， $R^{n-1}\circ R=R^{n}$Rn−1∘R=Rn 。

• 一个重要定理
  $A$A上的关系$R$R具有传递性，当且仅当 $R^n\subseteq R$Rn⊆R,
  此定理可以用数学归纳法证明。

3.2.4.关系的表示

• 用矩阵表示关系
  $m_{ij}=\begin{cases}1,if(a_i,b_j)\in R\\0,if(a_i,b_j)\notin R\end{cases}$mij​={1,if(ai​,bj​)∈R0,if(ai​,bj​)∈/​R​
  如果关系具有自反性，那么主对角线上的元素都为1;
  
  下面是对称性和反对称性的特征矩阵
  

• 用有向图表示关系
  
  上图表示关系${(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)}$(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)

• 关系的性质与图的特征
  自反性：所有顶点都有自环(loop)
  反自反性: 图中没有自环出现。
  对称性：图中没有单向边。
  反对称性：图中无双向边
  传递性：难以直接观察得出，可以对将所有的边两两组合判断。

3.3.闭包(Closure)

3.3.1.闭包的定义

定义 3 - 8.1
设 $R$R 是 $X$X 上的二元关系，如果有另一个关系 $R'$R′ 满足：

• $R'$R′ 是自反的（对称的，可传递的）。
• $R' \supseteq R$R′⊇R 。
• 对于任何自反的（对称的，可传递的）关系 $R''$R′′ ，如果有 $R'' \supseteq R$R′′⊇R ，就有 $R'' \supseteq R'$R′′⊇R′ 。则称关系 $R'$R′ 为 $R$R 的自反（对称、传递）闭包。记作 $r(R)$r(R) （ $s(R)$s(R) ， $t(R)$t(R) ）。

在这个定义里，除了关系$R$R,和闭包$R^{'}$R′,还引入了关系$R^{''}$R′′,就是为了强调从关系R转换为满足某种性质的关系时，需要尽可能添加尽可能少的序偶。这就保证闭包的产生是唯一。

（这里的三个字母分别是 reverse、symmetric 和 transmit 的首字母）

3.4.等价(Equivalence)

3.4.1.等价关系(Equivalence Relations)

• 定义：如果一个关系是自反的、对称的、传递的，那么这个关系就称为等价关系。

• 元素的等价
  如果两个元素由于等价关系而相关联，则称它们是等价的，记为$a$a~$b$b。

• 模m同余关系
  定义关系$R=\{(a,b)|a\equiv b(mod \,\ m)\}$R={(a,b)∣a≡b(mod m)}，模m同余关系就是一种等价关系。

3.4.2.等价类

• 定义：
  设 $R$R 为定义在集合 $A$A 上的等价关系，对任何 $a \in A$a∈A ，集合 $[a]_R = \{ x \vert x \in A , aRx \}$[a]R​={x∣x∈A,aRx} 称为元素 $a$a 形成的 $R$R 等价类。

以模m同余关系为例，它定义在整数集合$Z$Z上，模m同余关系的等价类叫做模m同余类。具体地，
$[0]_m =\{……,-2m，-m,0,m,2m,……,\}$[0]m​={……,−2m，−m,0,m,2m,……,}，
$[1]_m =\{……,-2m+1，-m+1,1,m+1,2m+1,……,\}$[1]m​={……,−2m+1，−m+1,1,m+1,2m+1,……,}
……
$[m-1]_m=\{……,-m-1,-1,m-1,2m-1\}$[m−1]m​={……,−m−1,−1,m−1,2m−1}

注：$Z_m=\{[0],[1],[2],……,[m-1]\}$Zm​={[0],[1],[2],……,[m−1]}称为模m剩余类的集合。

3.4.3.划分

• 三个等价命题
  (i)$aRb$aRb
  (ii)$[a]=[b]$[a]=[b]
  (iii)$[a]\cap [b]=\varnothing$[a]∩[b]=∅
  这三个命题是等价的，这里不予证明。

• 划分的定义
  令 $S$S 为给定非空集合， $A=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$A={A1​,A2​,⋯,Am​} ，其中 $A_i\subseteq S,A_i\ne\varnothing(i=1,2,\cdots,m)$Ai​⊆S,Ai​​=∅(i=1,2,⋯,m) 且 $\bigcup\limits_{i=1}^mA_i=S$i=1⋃m​Ai​=S ，集合 $A$A 称作集合 $S$S 的覆盖。如果除以上条件外，还另有 $A_i\cap A_j=\varnothing(i\ne j)$Ai​∩Aj​=∅(i​=j) ，则称 $A$A 是 $S$S 的划分。
  由定义知，所谓划分就是一个集合，它里面的元素是由等价关系确定的等价类。
  自然，这些元素的交集必为空。

  

• 商集
  集合 $A$A 上的等价关系 $R$R ，其等价类集合 $\{ [a]_R \vert a \in A \}${[a]R​∣a∈A} 称作 $A$A 关于 $R$R 的商集，记作 $A/R$A/R 。

• 划分与等价关系的联系
  (i) 集合 $A$A 上的等价关系 $R$R ，决定了 $A$A 的一个划分，该划分就是商集 $A/R$A/R 。
  (ii)集合 $A$A 的一个划分确定 $A$A 的元素间的一个等价关系。

3.5.偏序(Partial order)

3.5.1.偏序关系与偏序集

• 定义
  设 $A$A 是一个集合，如果 $A$A 上的一个关系 $R$R ，满足自反性，反对称性和传递性，则称 $R$R 是 $A$A 上的一个偏序(关系)，并把R记为“ $\preccurlyeq$≼ ”。
  序偶 $(A,\preccurlyeq )$(A,≼) 称作偏序集(poset)。
  集合A中的元素称之为偏序集的元素。

• 可比较性
  偏序集中的元素a,b是可比较的，如果%a≤b$或者$或者b≤a$ 。如果a,b是偏序集中的元素，但是即不存在$a≤b$a≤b，也不存在$b≤a$b≤a，则称a,b是不可比较的。
  可比较性反映在关系图中就是单向边的存在与否。

• 全序集、线序集
  如果$(S,R)$(S,R)是偏序集，并且S中每对元素都是可比较的，则称S为全序集或线序集，R为全序或线序。一个全序集，也称之为链。

3.5.2.字典序（Lexicographic Order）

• 定义：
  给定两个偏序集$(A_1,≤_1)$(A1​,≤1​)和$(A_2,≤_2)$(A2​,≤2​)，$A_1\times A_2$A1​×A2​上的字典序定义为,$(a_1,a_2)<(b_1,b_2)$(a1​,a2​)<(b1​,b2​)，如果，$(i)a_1<b_1$(i)a1​<b1​,或者如果，$(ii)(a_1=b_1,and\,\ a_2<b_2 )$(ii)(a1​=b1​,and a2​<b2​),注意这里是严格小于。

3.5.3.哈斯图

• 盖住
  在偏序集合 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$⟨A,≼⟩ 中，如果 $x,y \in A,x \preccurlyeq y,x \ne y$x,y∈A,x≼y,x​=y 且没有其他元素 $z$z 满足 $x \preccurlyeq z,z\preccurlyeq y$x≼z,z≼y ，则称元素 $y$y 盖住元素 $x$x 。并且记集合
  $\{ \langle x,y \rangle \vert x,y \in A;y盖住x\}${⟨x,y⟩∣x,y∈A;y盖住x}
  为 $\text{COV }A$COV A 。

对于给定偏序集 $\langle A,\preccurlyeq\rangle$⟨A,≼⟩ ，它的盖住关系是唯一的，所以可用盖住的性质画出偏序集合图，或称哈斯图，其作图规则为：

• 作图规则

1. 用小圆圈代表元素。
2. 如果 $x\preccurlyeq y$x≼y 且 $x\ne y$x​=y ，则将代表 $y$y 的小圆圈画在代表 $x$x 的小圆圈上方。
3. 如果 $\langle x,y \rangle\in \text{COV }A$⟨x,y⟩∈COV A ，则在 $x$x 与 $y$y 之间用直线连接。

也就是，将一张普通的关系图，（i）去掉自环，（ii）去掉可由传递性得出边，（iii）再将元素从下往上的放置。
如下图：

3.5.4.偏序集中的元素

• 极大元、极小元（Greatest and Least Elements）
  定义：
  设 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$⟨A,≼⟩ 是一个偏序集合，且 $B$B 是 $A$A 的子集，对于 $B$B 中的一个元素 $b$b ，如果 $B$B 中没有任何元素 $x$x 满足 $b \ne x$b​=x 且 $b \preccurlyeq x$b≼x ，则称 $b$b 为 $B$B 的极大元。同理，对于 $b \in B$b∈B ，如果 $B$B 中没有任何元素 $x$x ，满足 $b \ne x$b​=x 且 $x \preccurlyeq b$x≼b ，则称 $b$b 为 $B$B 的极小元。

• 对于有穷集合，极大元、极小元必存在，但不一定唯一。

• 最大元、最小元（Maximal and Minimal Elements）
  定义：
  令 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$⟨A,≼⟩ 是一个偏序集，且 $B$B 是 $A$A 的子集，若有某个元素 $b \in B$b∈B ，对于 $B$B 中每一个元素 $x$x 有 $x \preccurlyeq b$x≼b ，则称 $b$b 为 $\langle B,\preccurlyeq \rangle$⟨B,≼⟩ 的最大元。同理，若有某个元素 $b \in B$b∈B ，对每一个 $x \in B$x∈B 有 $b \preccurlyeq x$b≼x ，则称 $b$b 为 $\langle B,\preccurlyeq \rangle$⟨B,≼⟩ 的最小元。

• 最大元、最小元不一定存在，但存在就必唯一；并且，最小元一定是极小元，最大元一定是极大元.

• 上界、下界
  定义：
  设 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$⟨A,≼⟩ 为一偏序集，对于 $B\subseteq A$B⊆A ，如有 $a\in A$a∈A ，且对 $B$B 的任意元素 $x$x ，都满足 $x\preccurlyeq a$x≼a ，则称 $a$a 为子集 $B$B 的上界。同样地，对于 $B$B 的任意元素 $x$x ，都满足 $a\preccurlyeq x$a≼x ，则称 $a$a 为 $B$B 的下界。
  这是借助子集来定义的。

• 最小上界、最大下界
  定义：
  设 $\langle A,\preccurlyeq \rangle$⟨A,≼⟩ 为偏序集且 $B\subseteq A$B⊆A 为一子集， $a$a 为 $B$B 的任一上界，若对 $B$B 的所有上界 $y$y 均有 $a\preccurlyeq y$a≼y ，则称 $a$a 为 $B$B 的最小上界（上确界），记作 $\text{LUB }B$LUB B 。同样，若 $b$b 为 $B$B 的任一下界，若对 $B$B 的所有下界 $z$z ，均有 $z\preccurlyeq b$z≼b ，则称 $b$b 为 $B$B 的最大下界（下确界），记作 $\text{GLB }B$GLB B 。