MIT_18.03_微分方程_Paul-Dirac_δ_Function_狄拉克函数_Notes

狄拉克δ函数

引

首先了解一下什么是单位脉冲 unit impulse

其实就是单位冲量

对系统的影响写成一个微分方程
$y'' + y = \frac{1}{h}u_{oh}(t)$y′′+y=h1​uoh​(t)
我们的任务是研究单位脉冲对系统的影响，于是Laplace变换来乐

（大雾）
$\frac{1}{h}u_{oh}(t) = \frac{1}{h}(u(t)-u(t-h)) \leadsto \frac{1}{h}\frac{1-e^{-hs}}{s}$h1​uoh​(t)=h1​(u(t)−u(t−h))⇝h1​s1−e−hs​
那末，当冲击时间越来越短 但是冲量保持1不变 拉普拉斯变换会怎么样？

$\lim\limits_{h \to 0}\frac{1-e^{-hs}}{hs} = 1$h→0lim​hs1−e−hs​=1

图像呢？

…h越来越小，1/h越来越大，方块面积不变，但越来越窄，越来越高…

于是我们得到了狄拉克δ函数δ(t) Paul Dirac’s Delta Function，它是一个广义函数，在除了零以外的点函数值都等于零，零处的值无法严谨表达，但是其在整个定义域上的积分等于1，拉普拉斯变换为1

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文章目录

• 狄拉克δ函数
• 引
• @[toc]
• 与卷积的关系
• 与单位跃阶函数的关系
• 对系统的影响
• 传递函数/系统的加权函数/冲激响应

与卷积的关系

$u(t)f(t)*\delta(t)\leadsto F(s)\cdot 1$u(t)f(t)∗δ(t)⇝F(s)⋅1 (根据卷积的定义)

$u(t)f(t)\leadsto F(s)$u(t)f(t)⇝F(s)

所以$u(t)f(t)*\delta(t) = u(t)f(t)$u(t)f(t)∗δ(t)=u(t)f(t)

$\delta(t)$δ(t)是卷积运算的identity

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与单位跃阶函数的关系

$u'(t) = \delta(t)$u′(t)=δ(t) 广义导数 generalized derivatives 显然又不那么显然 但是在运算中它表现出了正确性

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对系统的影响

对系统“踢”(kick) 了一脚 意味着瞬时施加的一个量

e.g. 对 $y'' + y = A\delta(t-\frac{\pi}{2})$y′′+y=Aδ(t−2π​)

在$\frac{\pi}{2}$2π​对系统踢了一脚施加了A的冲量

先拉氏变换
$s^2Y-s+Y = Ae^{-\frac{\pi}{2}s}\cdot 1\\ Y = \frac{s}{s^2+1} + \frac{Ae^{-\frac{\pi}{2}s}}{s^2+1}$s2Y−s+Y=Ae−2π​s⋅1Y=s2+1s​+s2+1Ae−2π​s​
再逆变换
$y = cos(t) + Asin(t-\frac{\pi}{2}) = \left\{\begin{matrix} cos(t), t\in [0,\frac{\pi}{2}]\\ (1-A)cos(t), t\geqslant \frac{\pi}{2} \end{matrix}\right.$y=cos(t)+Asin(t−2π​)={cos(t),t∈[0,2π​](1−A)cos(t),t⩾2π​​
根据A的不同 系统在$\frac{\pi}{2}$2π​有不同相应

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传递函数/系统的加权函数/冲激响应

对于一个初值为0的二阶系统
$y'' + ay' + by = f(t), y(0) = 0,y'(0) = 0$y′′+ay′+by=f(t),y(0)=0,y′(0)=0
拉普拉斯变换
$s^2Y + asY + bY = F(s)\\ Y = F(s)\frac{1}{s^2+as+b}$s2Y+asY+bY=F(s)Y=F(s)s2+as+b1​
如何求响应y？ 计算$f(t)$f(t)和$\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+as+b})$L−1(s2+as+b1​)的卷积

$\frac{1}{s^2+as+b}$s2+as+b1​ 只取决于系统 称为传递函数 transfer function 记作$W(s)$W(s)或$H(s)$H(s)

其拉普拉斯逆变换为 系统的加权函数 weight function of the system 记作$W(t)$W(t)

那末 $W(t)$W(t)的意义具体是什么？

即单位冲激响应 unit impulse response 给予一个零状态系统单位冲激得到的响应
$y'' + ay' + by = \delta(t)\\ s^2Y + asY + bY = 1\\ Y = \frac{1}{s^2+as+b}\\ \mathcal{L}^{-1}(Y) = W(t)$y′′+ay′+by=δ(t)s2Y+asY+bY=1Y=s2+as+b1​L−1(Y)=W(t)
所以常系数二阶线性系统的响应y被表示了出来

Green’s Formula
$y = \int_{0}^{t}f(u)w(t-u)du$y=∫0t​f(u)w(t−u)du
可以理解为一直踢踢踢踢踢踢…

Marvelous！

ps:传递函数可以表示为$\frac{output}{input}$inputoutput​这对于所有系统都适用