高等代数---λ矩阵

高等代数—λ矩阵

声明： 本篇文章内容主要对《高等代数》第三版第八章内容的总结，复习

λ矩阵

定义：数字矩阵，λ矩阵

定义1：如果λ-矩阵A(λ)中有一个r(r≥1)级子式不为零，而所有r+1级子式(如果有的话)全为零,则称A(λ)的秩为r.零矩阵的秩规定为零。

定义2：一个n×n的λ-矩阵A(λ)称为可逆的,如果有个n×n的λ-矩阵B(λ)使
A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=E, (1)
这里E是n级单位矩阵.适合(1)的矩阵B(λ)(它是唯一的)称为A(λ)的逆矩阵,记为A^-1(λ)。

定理1：一个n×n的λ-矩阵A(λ)是可逆的充分必要条件为行列式|A(λ)|是一个非零的数。

λ-矩阵在初等变换下的标准型

定义3：下面的三种变换叫做λ-矩阵的初等变换：
(1)矩阵的两行(列)互换位置;
(2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c;
(3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的σ(λ)倍,σ(λ)是一个多项式

定义4：λ-矩阵A(λ)称为与B(λ)等价,如果可以经过一系列初等变换将A(λ)化为B(λ)。
性质：
(1)反身性:每一个λ-矩阵与自己等价
(2)对称性:若A(λ)与B(λ)等价,则B(λ)与A(λ)等价.这是由于初等变换具有可逆性的缘故
(3)传递性:若A(λ)与B(λ)等价,B(λ)与C(λ)等价,则A(λ)与C(λ)等价

引理：设λ-矩阵A(λ)的左上角元素a₁₁(λ)≠0, 并且A(λ)中至少有一个元素不能被它除尽,那么一定可以找到一个与A(λ)等价的矩阵B(λ),它的左上角元素也不为零,但是次数比a₁₁(λ)的次数低。
注意： 次数比a₁₁(λ)的次数低，这里后面有很重要的应用。

定理2：任意一个非零的s×n的λ-矩阵A(λ)都等价于下列形式的矩阵：

注意：最后化成的这个矩阵称为A(λ)的标准形。

不变因子

定义5：设λ-矩阵A(λ)的秩为r, 对于正整数k,1≤k≤r，A(λ)中必有非零的k级子式. A(λ)中全部k级子式的首项系数为1的最大公因式D_k(λ)称为A(λ)的k级行列式因子。
注意： 行列式因子的意义在于，它在初等变换下是不变的。

定理3：等价的λ-矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子。

证明：仅需证明经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的。

定理4：λ-矩阵的标准形是唯一的。

定义6：标准形的主对角线 上 非零元素 d₁(λ),d₂(λ),…d_n(λ)称为λ-矩阵A(λ)的 不变因子。

定理5： 两个λ-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的行列式因子,或者,它们有相同的不变因子。

定理6：矩阵A(λ)是可逆的充分必要条件是它可以表成一些初等矩阵的乘积。

注意：A(λ)是可逆的说明|A(λ)|=d，其中d是常数。说明最大的行列式因子是常数(就是1)。

推论 ：两个s×n的λ-矩阵A(λ)与B(λ)等价的充分必要条件为,有一个s×s可逆矩阵P(λ)与一个n×n可逆矩阵Q(λ),使
B(λ)=P(λ)A(λ)Q(λ)

矩阵相似的条件

重点 ：矩阵A和B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵λE-A和λE-B等价。(将等价和相似结合起来)

证明：这块的证明是否合理，需要进一步探讨

定理7： 设A,B是数域P上两个n×n矩阵.A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵λE-A和λE-B等价
推论：矩阵A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。

初等因子

定义7：把矩阵A(或线性变换a)的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵A(或线性变换a)的初等因子。

注意：同一个一次因式的方幂作成的初等因子中,方次最高的必定出现在d_n(λ)的分解中,方次次高的必定出现在d_n-1(λ)的分解中.如此顺推下去,可知属于同一个一次因式的方幂的初等因子在不变因子的分解式中出现的位置是唯一确定的。

定理8：两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。

注意：关于多项式的最大公因式的一个性质，
如果多项式f₁(λ), f₂(λ)都与g₁(λ),g₂(λ)互素,则(f₁(λ)g₁(λ), f₂(λ)g₂(λ)）=(f₁(λ),f₂(λ))·(g₁(λ),g₂(λ)）

定理9：首先用初等变换化特征矩阵λE-A为对角形式,然后将主对角线上的元素分解成互不相同的一次因式方幂的乘积,则所有这些一次因式的方幂(相同的按出现的次数计算)就是A的全部初等因子。

若尔当(Jordan)标准型的理论推导

定理10: 每个n级的复数矩阵A都与一个若尔当形矩阵相似, 这个若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列次序外是被矩阵A唯一决定的,它称为A的若尔当标准形。

定理12: 复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是,A的初等因子全为一次的

定理13: 复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是的不变因子都没有重根

矩阵的有理标准型

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参考书籍：《高等代数》第三版 王萼芳 石生明 修订 高等教育出版社