高等代数 矩阵的相抵和相似(第5章)1

一.等价关系与集合的划分(5.1)

二.矩阵的相抵(5.2)

三.广义逆矩阵(5.3)

四.矩阵的相似(5.4)

1.相似矩阵
(1)概念:

(2)性质:

性质1:如果$B_1=P^{-1}A_1P,B_2=P^{-1}A_2P$B1​=P−1A1​P,B2​=P−1A2​P,那么$B_1+B_2=P^{-1}(A_1+A_2)P\\B_1B_2=P^{-1}(A_1A_2)P\\B_1^m=P^{-1}A_1^mP$B1​+B2​=P−1(A1​+A2​)PB1​B2​=P−1(A1​A2​)PB1m​=P−1A1m​P其中$m$m是正整数

性质2:若$A\sim B$A∼B,则$|B|=|A|$∣B∣=∣A∣

性质3:相似的矩阵或者都可逆,或者都不可逆;当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似

性质4:若$A\sim B$A∼B,则$rank(B)=rank(A)$rank(B)=rank(A)

2.迹
(1)概念:

(2)性质:

性质5:矩阵的迹具有下列性质:$tr(A+B)tr(A)+tr(B)\qquad(3)\\tr(kA)=k·tr(A)\qquad(4)\\tr(AB)=tr(BA)\qquad(5)$tr(A+B)tr(A)+tr(B)(3)tr(kA)=k⋅tr(A)(4)tr(AB)=tr(BA)(5)

性质6:若$A\sim B$A∼B,则$tr(A)=tr(B)$tr(A)=tr(B)

3.相似不变量:

4.矩阵可对角化:

定理1:数域$K$K上的$n$n级矩阵$A$A可对角化的充要条件是:$K^n$Kn中有$n$n个线性无关的列向量$α_1,α_2...α_n$α1​,α2​...αn​,以及$K$K中有$n$n个数$λ_1,λ_2...λ_n$λ1​,λ2​...λn​(这$n$n个数中可能有些是相等的),使得$Aα_i=λ_iα_i\,(i=1,2...n)\qquad(6)$Aαi​=λi​αi​(i=1,2...n)(6)这时,令$P=(α_1,α_2...α_n)$P=(α1​,α2​...αn​),则$P^{-1}AP=diag\{λ_1,λ_2...λ_n\}$P−1AP=diag{λ1​,λ2​...λn​}