欢迎关注天善智能，我们是专注于商业智能BI，人工智能AI，大数据分析与挖掘领域的垂直社区，学习，问答、求职一站式搞定！
对商业智能BI、大数据分析挖掘、机器学习，python，R等数据领域感兴趣的同学加微信：tstoutiao，邀请你进入数据爱好者交流群，数据爱好者们都在这儿。
作者： 有乔木
公众号：小詹学Python
宠物鱼店主戴夫最近引进了一批彩虹鱼，打算捞一笔，他引进了30条彩虹鱼，每天要卖出20条，未来会发生什么呢？让我们和欧拉预测一波
已知
20条鱼每天能生殖14条小鱼
每条鱼每天平均产出0.7条鱼
照料的很好，死亡率 = 0
简化模型，刚出生的小鱼就能生殖小鱼
鱼缸最大环境承受值750条
越接近环境承受值，小鱼的生育力越低（暗含死亡率）
每天卖出20条小鱼
建模
P(0) = 30 第0天的小鱼数量 P_init = 30
P(1) = P(0) + 0.7 * P(0) - 20 第1天的小鱼的数量
P(t+Δt) = P(t) +0.7 * P(t) * Δt -20 * Δt 第t+Δt天相对第t天的小鱼数量
P(t+Δt) = P(t) +0.7 *(1 - P(t)/750) * P(t) * Δt -20 * Δt 加入环境承受值对于生育率的影响(简单模型)
简单的分析一下P的变化-微分和导数
这是一个P的导数，相关与P函数本身的一个微分方程，Autonomous differential equations 自控微分方程 。看上去是不是很复杂，这个时候我们就要呼唤欧拉了 ：欧拉方法，命名自它的发明者莱昂哈德·欧拉()，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程（即初值问题）求解。它是一种解决数值常微分方程的最基本的一类显型方法（Explicit method）。
python实现
函数和初始值
欧拉方法解微分方程的关键点在于Δt的选取，Δt越接近0，函数图像越准确
在这里我们将Δt作为预测函数的参数
deffish_predict(Dt):#Δt
t_init =0#第0天开始
t_end =30#第30天结束
P_init =30#初始数量30
n_steps = int(round((t_end-t_init)/Dt))
在这里n_steps = (30-0)/Δt ，代表着一共做多少次欧拉方法来绘制函数图像
引入数学分析工具
importnumpyasnp#矩阵
importmatplotlib.pyplotasplt#绘图
建立自变量和因变量矩阵
t_arr = np.zeros(n_steps +1)#创建一维矩阵t，记录自变量变化（初始为零）
P_arr = np.zeros(n_steps +1)#创建一维矩阵P，记录因变量变化（初始为零）
t_arr[0] = t_init#默认值
P_arr[0] = P_init#默认值
欧拉方法-步进，得到函数离散值
当前节点函数值 = 前一个节点函数值 + 前一个节点的导数 * 自变量变化量
P_arr[i] = P + Dt*dPdt
# Euler's method
foriinrange (1, n_steps +1):
P = P_arr[i-1]
t = t_arr[i-1]
dPdt =0.7*P*(1-P/750)-20#导数
P_arr[i] = P + Dt*dPdt#求当前节点函数值
t_arr[i] = t + Dt#自变量步进变化
returnP_arr,t_arr
这样的循环下来，我们就将欧拉方法融入python中，返回两个离散的P_arr、t_arr矩阵，帮助我们描述函数了
在不同变化量下调用函数
为了更加深刻的理解欧拉法求解微分方程，我在这里使用三个不同的变化量使用欧拉方法
p1,t1 = fish_predict(1)
p2,t2 = fish_predict(0.5)
p3,t3 = fish_predict(0.25)
绘图 - 曲线
fig = plt.figure()#创建图像
plt.plot(t1, p1, linewidth =4)#绘制曲线
plt.plot(t2, p2, linewidth =4)
plt.plot(t3, p3, linewidth =4)
绘图 - 标签、轴、网格
plt.title('fish', fontsize =25)#标签
plt.xlabel('t', fontsize =20)
plt.ylabel('P(t)', fontsize =20)
plt.legend(['Dt = 1','Dt = 2','Dt = 3'])#图例
plt.xticks(fontsize =15)#字体
plt.yticks(fontsize =15)
plt.grid(True)#网格
plt.axis([0,25,0,800])#坐标轴范围
图像展示
plt.show()
通过这么多我们可以分析得出，小店店主可以快乐的天天卖鱼捞金了。不过我才不会告诉他，小鱼要长几个月才能有生育能力。。。
如果对于鱼群的年龄和数量分布再进行分析，增加一个复杂的多为矩阵表示鱼群，也不成问题~
总结
本文对于一个鱼缸进行简单的数学建模、欧拉方法求解，数学转换代码，连续图像离散化，离散点构建图像，numpy构建矩阵，matplotlib.pyplot绘图，python实现。
这个鱼缸的最简模型从来不是python和数学的终点。仅仅是本文，和作者的一个暂时的节点。
Python的爱好者社区历史文章大合集：
福利：文末扫码立刻关注公众号，“Python爱好者社区”，开始学习Python课程：
关注后在公众号内回复“课程”即可获取：
小编的转行入职数据科学（数据分析挖掘/机器学习方向）【最新免费】
小编的Python入门免费视频课程！！！
小编的Python快速上手matplotlib可视化库！！！
崔老师爬虫实战案例免费学习视频。
陈老师数据分析报告制作免费学习视频。
玩转大数据分析！Spark2.X+Python 精华实战课程免费学习视频。