MITE：欧拉欧拉欧拉欧拉(beta)

你们要的欧拉欧拉欧拉欧拉终于来了

文章目录

欧拉函数
欧拉定理
拓展欧拉定理
欧拉降幂

欧拉函数

MITE：欧拉欧拉欧拉欧拉(beta)

我们用 φ(n)来表示欧拉函数
它等于<=n的数中与n互质的数的数目（1姑且认为与任何数互质吧）

首先当然是大家都擅长的暴力了，我们知道，两个数互质就是gcd=1，所以就有

int phi(int n)
{
   int ans=0;
   for(int i=1;i<=n;i++)
   	if(gcd(i,n)==1)
   		ans++;
   return n;
}

但是很多时候暴力是出不了奇迹的，所以我们需要更好的方法

很多时候我们思考问题要学会逆向思维，只要把不与n互质的数去掉的话剩下的不就是与n互质的了。还记得之前说过的定理吗，在讲线筛的时候，任何合数都能拆成n个素数的乘积。所以只要把小于n的n的所有素因数的倍数去掉就好啦，是不是很简单哇。具体做法就算简单容斥啦（此时，我终于想起了没有做容斥的博客，但是问题不大）

比如说24，它的素因数有2，3
小于等于24&&2的倍数：24/2=12
小于等于24&&3的倍数：24/3=8
2和3的倍数24/（2 * 3）
需要去除的数为24 *（1/2-1/6+1/3)
φ(24)=24(1-1/2-1/3+1/6)=24(1-1/2)(1-1/3)=8

再比如三个素数的2*3*5=30
φ(30)=30(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=8

至于为什么具体转到~~容斥定理（还没写）~~

于是我们就可以有新的写法了

int phi(int n)
{
	int ans=n;
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
	{
		//由于任何一个合数都至少有一个不大于根号n的素因子，所以只需遍历到根号n即可
		if(n%i==0)
		{
			ans = ans/i*(i-1);
			//防溢出
			while(n%i==0)n/=i;
			//使n的因子没有素数i的倍数
		}
	}
	if(n>1)
		ans=ans/n*(n-1);
	//如果n最终是素数的话会跳出循环，没有计算，所以这里还要再判断一次
	return ans;
}

聪明的同学们可能已经发现了，这东西是可以打表的
遍历一遍，只要遍历到素数的话它的所有倍数（包括它本身）都除以它乘它-1既/i*(i-1)

int phi[N];
void Euler()
{
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++)
	{
		if(phi[i])
		{
			for(int j=i;j<N;j+=i)
			{
				if(!phi[j]) phi[j]=j;
				phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
			}
		}
	}
}

复杂度和埃筛差不多，O(nlnln n)

然后提一下欧拉函数的一些性质
1.若p为质数,φ ( p)=p-1

因为小于质数p的数都与p互质

2.若i mod p = 0,且p为质数，则φ( i * p ) = φ(i) *p

$\phi(i)=i*(1-\frac{1}{a})*(1-\frac{1}{p})$

$\phi(i*p)=i*p*(1-\frac{1}{a})*(1-\frac{1}{p})=\phi(i)*p$

3.若i mod p ≠0，且p为质数, 那么 φ( i * p )=φ(i) * ( p-1 )

$\phi(i)=i*(1-\frac{1}{a})*(1-\frac{1}{b})$

$\phi(i*p)=i*p*(1-\frac{1}{a})*(1-\frac{1}{b})*(1-\frac{1}{p})=i*(1-\frac{1}{a})*(1-\frac{1}{b})*(p-1)=\phi(i)*(p-1)$

4.对于n=p^k ,有 $\phi(n)=(p-1) * p^{k-1}$

$\phi(n)=\phi(p^{k-1}*p)=\phi(p^{k-1})*p=...=\phi(p)*p^{k-1}=(p-1)*p^{k-1}$

5.若gcd(n,m)=1, $\phi(n * m)=\phi(n) * \phi(m)$

n与m互质，质数互不相同

6. $n=\prod p_i^{k_i}$ ,则有 $\phi(n)=n * \prod (1-\frac{1}{p_i})$

p为质数，易得（真的易得吖）

7.若gcd(a,m)=1,则 $a^{\phi(m)} \equiv 1$ (mod m)

欧拉定理，下有证明

8.小于n且与n互质的数的和 S=n* $\frac{\phi(n)}{2}$ ;

易知，若i与n互质，则n-i与n也互质

若i与n不互质 gcd(i,n)=a > 0, (n-i)/a=n/a-i/a为整数，故a也为n-i的因数，故 gcd(n,n-i) != 1

所以有S = n* $\frac{\phi(n)}{2}$

$\ \ \ \ \sum_{i=d|n}{\phi(d)}$ =n

$\phi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*\frac{n}{d}$

由性质1 2 3 可得一种更快得筛法

const int N = 1e6+10;
int phi[N],prime[N];
int tot;
void Euler()
{
	phi[1] = 1;
	for(int i = 2; i < N;i++)
	{
		if(!phi[i])
		{
			phi[i]=i-1;
			prime[tot++];
		}
		for(int j=0;j<tot&&1ll*i*prime[j]<N;j++)
		{
			if(i%prime[j])
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
			else
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
		}
	}
}

原理和线筛差不多就不多累赘了

欧拉定理

当a,m互质时， $a^{\phi(m)}\equiv1 (mod\ m)$

枚举小于m与m互质的数 $x_1,x_2,...,x_{\phi(m)}$

令 $p_i=a*x_i$

则对于 $i!=j ,有 p_i \ mod \ m \ != \ p_j \ mod \ m$

$ p_i-p_j=a(x_i-x_j)$

因为a与m互质， $x_i$ 与m互质，所以 $a(x_i-x_j)$ 与m互质

既 $(p_i-p_j)mod\ m !=0$

所以有 $p_i \ mod \ m \ != \ p_j \ mod \ m$

因此，对于确定的i，有确定的j使 $p_i \mod\ m = x_j$

且i对j是一一映射的

因此得 $\prod_{i=1}^{\phi(m)}p_i\equiv\prod_{i=1}^{\phi(m)}a*x_i\equiv a^{\phi(m)}*\prod_{i=1}^{n}x_i\equiv \prod_{i=1}^{n}x_i (mod\ m)$

得证 $a^{\phi(m)}\equiv 1(mod\ m)$

拓展欧拉定理

$a^c \equiv\begin{cases} a^{c \ mod\ \phi(m)} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\ gcd(a,m)=1\\ a^c\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,\ gcd(a,m)!=1,c<\phi(m)\\ a^{c\ mod\ \phi(m)+\phi(m)}\ \ \ ,\ gcd(a,m)!=1,c>\phi(m)\end{cases} \ \ \ \ \ (mod\ m)$

证明有缘的话会给出来的（咕咕咕）

看了这个后就不要再写出 $a^c \equiv (a\ mod\ p)^{c\ mod\ p}$ (mod m)这种东西来了，这个是错的错的错的！

欧拉降幂

就是当指数爆炸（超64位整数，几百位甚至更多）时可以用拓展欧拉定理来处理c mod $\phi(m)$

int main()
{
	ll a,c,p;
	char b[100000];
	cin>>a>>b>>p;
	int l = strlen(b);
	for(int i=0;i<l;i++)
		c=(c*10+b[i]-'0')%p;
	cout<<qpow(a,c%phi(p)+phi(p),p)<<endl;
	return 0;
}