备胎的概率论

从概率论的角度分析备胎的成功率

引言

现如今，随着男女比例的时调，与女权意识的觉醒，许多女性对男性的要求十分之高，导致了很多男性找不到女朋友（比如说我了）。在这种社会背景下，备胎成了一个令人调侃的词语，但是备胎真的这么失败吗？或者说备胎的成功率有多高呢？
本着学术研究的态度，我从概率论的角度对备胎的成功率进行分析，计算出怎样做备胎，才能最大可能性脱单。

模型假设

1. 我们可以同时是很多个女性的备胎，
2. 不同情侣间概率相互独立，
3. 在情侣分手后，我们一定可以竞选成功，
4. 我们竞选成功后，不影响后面的概率，即之后再有情侣的分手概率，

目标概率的确立

我们记第$n$n对情侣的“有效期”为$X_n$Xn​，也就是说，第$n$n对情侣会在第$n$n天分手。基于模型的假设2，可知，只要有一对情侣分手了，我们的备胎生涯就结束了，并取得了成功。所以我们需要计算的概率就是，
$P\{min_{i=1}^n(X_i) <x \}$P{mini=1n​(Xi​)<x}
其中，$x$x代表当前的天数，也就是计算第$x$x天时已经有情侣分手的概率。
又基于假设2，$X_n$Xn​之间相互独立的，所以我们可以对目标概率做如下处理，
$P\{min_{i=1}^n(X_i) <x \}\\ = 1 - P\{min_{i=1}^n(X_i) \geq x\} \\ =1 - P\{X_i \geq x | i = 1...n\} \\=1 - \Pi_{i=1}^nP\{X_i\geq x\}\\ =1-\Pi_{i=1}^n(1-F_i(x))$P{mini=1n​(Xi​)<x}=1−P{mini=1n​(Xi​)≥x}=1−P{Xi​≥x∣i=1...n}=1−Πi=1n​P{Xi​≥x}=1−Πi=1n​(1−Fi​(x))
其中$\Pi$Π代表累乘，$F_i(x)$Fi​(x)代表概率$P\{X_i < x\}$P{Xi​<x}。

再化简了目标概率后，只取取定$X_n$Xn​的概率分布，就可以计算出备胎的成功概率了。

概率模型的选取

为了简化模型，方便求解，我们需要增加如下的模型假设，

模型假设

5. 不同的情侣服从相同的概率分布，
6. 情侣的分手的数学期望值为30天，
7. 对于每对情侣，每天的分手概率是相互独立的。

基于上述假设，我们发现，e指数分布可以较好的描述情侣的分手概率。

指数分布

基于概率论知识，我们知道，e指数分布通常用于描述电子设备的有效期，因为其从时间上看是相互独立的。我们认为这个爱情，或者说现充，就像电灯泡，指不定哪天就烧断芯了。所以，我们也使用了电子设备中最常用的e指数分布来描述情侣的有效期。其概率密度函数如下，
$f(x) = -\lambda e^{-\lambda x}, x > 0$f(x)=−λe−λx,x>0
其在，x < 0 处，概率密度处处为0。
容易求得，其数学期望值为
$E(X) = {1 \over \lambda}$E(X)=λ1​
基于假设6，我们可计算出
$\lambda = {1 \over E(X)} = {1 \over 30}$λ=E(X)1​=301​
又由于假设7, 可得到概率分布函数为，
$F_i(x) = \int^x _{-\infty}f(x)dx = 1 - e^{-\lambda x}$Fi​(x)=∫−∞x​f(x)dx=1−e−λx

模型求解与分析

将上述$F_i(x)$Fi​(x)带入目标概率，可得到
$P\{min_{i=1}^n(X_i) <x \}\\ =1-\Pi_{i=1}^n e^{{-\lambda_i x}}\\ =1- e^{{-\lambda n x}}\\ = 1- e^{-{nx} / {30}}$P{mini=1n​(Xi​)<x}=1−Πi=1n​e−λi​x=1−e−λnx=1−e−nx/30
终于求解完了，结果非常的amazing。
我们先来看看在置信度为0.95的条件下有什么结果，也就是
$P\{min_{i=1}^n(X_i) <x \} > 0.95 \Rightarrow n x > 30 ln20$P{mini=1n​(Xi​)<x}>0.95⇒nx>30ln20
可以得到其图像如下，
我们发现，在n较大时，在10天内就能成功竞选！！
我们再假设一个备胎愿意等上30天，那么他的成功概率就是
$P\{min_{i=1}^n(X_i) <30 \} = 1 - e^{-n}$P{mini=1n​(Xi​)<30}=1−e−n
竟然是个指数函数！！！
此时，只要他同时成为5个女性的1号备胎，在30天内脱单概率就能有惊人的0.993！！！

稳定性分析

写道这我已经快累死了，就别分析稳定性了。

模型的优缺点

优点

模型简单准确

缺点

要怎么成为5个女性的1号备胎并保持30天呢？