矩阵分解 LDL^T分解

分解

实际问题中，当求解方程组的系数矩阵是对称矩阵时，则用下面介绍的分解法可以简化程序设计并减少计算量。

从定理可知，当矩阵A的各阶顺序主子式不为零时，A有唯一的Doolittle分解A= LU。矩阵U的对角线元素Uii 不等于0，将矩阵U的每行依次提出，

下面将U分解为

定理：若对称矩阵A的各阶顺序主子式不为零时，则A可以唯一分解为A= ，这里

L^T为L的转置矩阵。

当A有分解时，利用矩阵运算法则及相等原理易得计算ljk和dk的公式为

将对称正定矩阵通过分解成，其中是单位下三角矩阵，是对角均为正数的对角矩阵。把这

一分解叫做分解，是Cholesky分解的变形。对应两边的元素，很容易得到

 

          

 

由此可以确定计算和的公式如下

 

          

 

在实际计算时，是将的严格下三角元素存储在的对应位置上，而将的对角元存储在的对应的对角位置上。

类似地求解线性方程组的解步骤如下

 

（1）对矩阵进行分解得到

（2）求解，得到

（3）求解，得到

 

代码：

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1. #include <iostream>  
2. #include <string.h>  
3. #include <stdio.h>  
4. #include <vector>  
5. #include <math.h>  
6.    
7. using namespace std;  
8. const int N = 1005;  
9. typedef double Type;  
10.    
11. Type A[N][N], L[N][N], D[N][N];  
12.    
13. /** 分解A得到A = LDL^T */  
14. void Cholesky(Type A[][N], Type L[][N], Type D[][N], int n)  
15. {  
16.     for(int k = 0; k < n; k++)  
17.     {  
18.         for(int i = 0; i < k; i++)  
19.             A[k][k] -= A[i][i] * A[k][i] * A[k][i];  
20.         for(int j = k + 1; j < n; j++)  
21.         {  
22.             for(int i = 0; i < k; i++)  
23.                 A[j][k] -= A[j][i] * A[i][i] * A[k][i];  
24.             A[j][k] /= A[k][k];  
25.         }  
26.     }  
27.     memset(L, 0, sizeof(L));  
28.     memset(D, 0, sizeof(D));  
29.     for(int i = 0; i < n; i++)  
30.     {  
31.         D[i][i] = A[i][i];  
32.         L[i][i] = 1;  
33.     }  
34.     for(int i = 0; i < n; i++)  
35.     {  
36.         for(int j = 0; j < i; j++)  
37.             L[i][j] = A[i][j];  
38.     }  
39. }  
40.    
41. void Transposition(Type L[][N], int n)  
42. {  
43.     for(int i = 0; i < n; i++)  
44.     {  
45.         for(int j = 0; j < i; j++)  
46.             swap(L[i][j], L[j][i]);  
47.     }  
48. }  
49.    
50. void Multi(Type A[][N], Type B[][N], int n)  
51. {  
52.     Type **C = new Type*[n];  
53.     for(int i = 0; i < n; i++)  
54.         C[i] = new Type[n];  
55.     for(int i = 0; i < n; i++)  
56.     {  
57.         for(int j = 0; j < n; j++)  
58.         {  
59.             C[i][j] = 0;  
60.             for(int k = 0; k < n; k++)  
61.                 C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];  
62.         }  
63.     }  
64.     for(int i = 0; i < n; i++)  
65.     {  
66.         for(int j = 0; j < n; j++)  
67.             B[i][j] = C[i][j];  
68.     }  
69.     for(int i = 0; i < n; i++)  
70.     {  
71.         delete[] C[i];  
72.         C[i] = NULL;  
73.     }  
74.     delete C;  
75.     C = NULL;  
76. }  
77.    
78. /** 回带过程 */  
79. vector<Type> Solve(Type L[][N], Type D[][N], vector<Type> X, int n)  
80. {  
81.     /** LY = B  => Y */  
82.     for(int k = 0; k < n; k++)  
83.     {  
84.         for(int i = 0; i < k; i++)  
85.             X[k] -= X[i] * L[k][i];  
86.         X[k] /= L[k][k];  
87.     }  
88.     /** DL^TX = Y => X */  
89.     Transposition(L, n);  
90.     Multi(D, L, n);  
91.     for(int k = n - 1; k >= 0; k--)  
92.     {  
93.         for(int i = k + 1; i < n; i++)  
94.             X[k] -= X[i] * L[k][i];  
95.         X[k] /= L[k][k];  
96.     }  
97.     return X;  
98. }  
99.    
100. void Print(Type L[][N], Type D[][N], const vector<Type> B, int n)  
101. {  
102.     for(int i = 0; i < n; i++)  
103.     {  
104.         for(int j = 0; j < n; j++)  
105.             cout<<L[i][j]<<" ";  
106.         cout<<endl;  
107.     }  
108.     cout<<endl;  
109.     vector<Type> X = Solve(L, D, B, n);  
110.     vector<Type>::iterator it;  
111.     for(it = X.begin(); it != X.end(); it++)  
112.         cout<<*it<<" ";  
113.     cout<<endl;  
114. }  
115.    
116. int main()  
117. {  
118.     int n;  
119.     cin>>n;  
120.     memset(L, 0, sizeof(L));  
121.     for(int i = 0; i < n; i++)  
122.     {  
123.         for(int j = 0; j < n; j++)  
124.             cin>>A[i][j];  
125.     }  
126.     vector<Type> B;  
127.     for(int i = 0; i < n; i++)  
128.     {  
129.         Type y;  
130.         cin>>y;  
131.         B.push_back(y);  
132.     }  
133.     Cholesky(A, L, D, n);  
134.     Print(L, D, B, n);  
135.     return 0;  
136. }  
137.    
138. /**data** 
139. 4 
140. 4 -2 4 2 
141. -2 10 -2 -7 
142. 4 -2 8 4 
143. 2 -7 4 7 
144. 8 2 16 6 
145. */  

 

参考资料：http://class.htu.cn/nla/cha1/sect3.htm

转自：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/44656847

http://blog.csdn.net/zhouliyang1990/article/details/21952485