高等代数 矩阵的相抵和相似(第5章)2* 相似,特征值与特征向量,对角化

一.矩阵的相似(5.4)

1.相似矩阵
(1)概念:

(2)性质:

性质1:如果$B_1=P^{-1}A_1P,B_2=P^{-1}A_2P$B1​=P−1A1​P,B2​=P−1A2​P,那么$B_1+B_2=P^{-1}(A_1+A_2)P\\B_1B_2=P^{-1}(A_1A_2)P\\B_1^m=P^{-1}A_1^mP$B1​+B2​=P−1(A1​+A2​)PB1​B2​=P−1(A1​A2​)PB1m​=P−1A1m​P其中$m$m是正整数

性质2:若$A\sim B$A∼B,则$|B|=|A|$∣B∣=∣A∣

性质3:相似的矩阵或者都可逆,或者都不可逆;当它们可逆时,它们的逆矩阵也相似

性质4:若$A\sim B$A∼B,则$rank(B)=rank(A)$rank(B)=rank(A)

2.迹
(1)概念:

(2)性质:

性质5:矩阵的迹具有下列性质:$tr(A+B)tr(A)+tr(B)\qquad(3)\\tr(kA)=k·tr(A)\qquad(4)\\tr(AB)=tr(BA)\qquad(5)$tr(A+B)tr(A)+tr(B)(3)tr(kA)=k⋅tr(A)(4)tr(AB)=tr(BA)(5)

性质6:若$A\sim B$A∼B,则$tr(A)=tr(B)$tr(A)=tr(B)

3.相似不变量:

4.矩阵可对角化:

定理1:数域$K$K上的$n$n级矩阵$A$A可对角化的充要条件是:$K^n$Kn中有$n$n个线性无关的列向量$α_1,α_2...α_n$α1​,α2​...αn​,以及$K$K中有$n$n个数$λ_1,λ_2...λ_n$λ1​,λ2​...λn​(这$n$n个数中可能有些是相等的),使得$Aα_i=λ_iα_i\,(i=1,2...n)\qquad(6)$Aαi​=λi​αi​(i=1,2...n)(6)这时,令$P=(α_1,α_2...α_n)$P=(α1​,α2​...αn​),则$P^{-1}AP=diag\{λ_1,λ_2...λ_n\}$P−1AP=diag{λ1​,λ2​...λn​}

二.矩阵的特征值与特征向量(5.5)

1.概念:

2.存在性与求法
(1)特征矩阵与特征多项式:

将$λI-A=\left[\begin{matrix}λ-a_{11}&-a_{12}&...&-a_{1n}\\-a_{21}&λ-a_{22}&...&-a_{2n}\\...&...&...&...\\-a_{n1}&-a_{n2}&...&λ-a_{nn}\end{matrix}\right]$λI−A=⎣⎢⎢⎡​λ−a11​−a21​...−an1​​−a12​λ−a22​...−an2​​............​−a1n​−a2n​...λ−ann​​⎦⎥⎥⎤​称为矩阵$A$A的特征矩阵
①由于$λ-a_{ii}\not∈F\,(i=1,2...n)$λ−aii​​∈F(i=1,2...n),从而$λI-A$λI−A不是域$F$F上的矩阵;由于$λ-a_{ii}∈F[λ]\,(i=1,2...n)$λ−aii​∈F[λ](i=1,2...n),从而$λI-A$λI−A是域$F$F上一元多项式环$F[λ]$F[λ]上的矩阵
②对环$F[λ]$F[λ]上的矩阵,也可以定义加法/矩阵乘法/纯量乘法/行列式等概念,且这些概念和域$F$F上矩阵的相应概念相同(参见 高等代数.多项式环5.二.4.(1) 部分)

命题1:设$A$A是数域$K$K上的$n$n级矩阵,则$A$A的特征多项式$|λI-A|$∣λI−A∣是1个$n$n次多项式,$λ^n$λn的系数是1,$λ^{n-1}$λn−1的系数等于$-tr(A)$−tr(A),常数项为$(-1)^n|A|,λ^{n-k}$(−1)n∣A∣,λn−k的系数为$A$A的所有$k$k阶主子式的和乘以$(-1)^k\,(1≤k<n)$(−1)k(1≤k<n)

(2)特征值与特征向量的求法:

定理2:设$A$A是数域$K$K上的$n$n级矩阵,则:
$(1)λ_0$(1)λ0​是$A$A的1个特征值当且仅当$λ_0$λ0​是$A$A的特征多项式$|λI-A|$∣λI−A∣在$K$K中的1个根
$(2)α$(2)α是$A$A的属于特征值$λ_0$λ0​的1个特征向量当且仅当$α$α是齐次线性方程组$(λ_0I-A)x=0$(λ0​I−A)x=0的1个非零解

(3)求矩阵的所有特征值与特征向量的一般步骤:

(4)特征子空间:

3.相似矩阵的性质(续):

性质1:相似的矩阵具有相等的特征多项式

性质2:相似的矩阵具有相同的特征值(包括重数)

由性质1,性质2可以看出,矩阵的特征多项式和特征值是相似不变量

另外,相似矩阵的特征向量不一定相同,实际上,通常不同

4.几何重数与代数重数
(1)概念:

(2)二者的关系:

命题2:设$λ_1$λ1​是数域$K$K上$n$n级矩阵$A$A的1个特征值,则$λ_1$λ1​的几何重数不超过其代数重数

三.矩阵可对角化的条件