本文授权自马同学高等数学
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。
1 复数
在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。
1.1 的由来
，这个就是
的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。
可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：
从自然数扩张到整数：增加的负数可以对应“欠债、减少”
从整数扩张到有理数：增加的分数可以对应“分割、部分”
从有理数扩张到实数：增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（
）”
从实数扩张到复数：增加的虚数对应什么？
虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。
看起来我们没有必要去理会 到底等于多少，我们规定
没有意义就可以了嘛，就好像
一样。
我们来看一下，一元二次方程 的万能公式：其根可以表示为：
，其判别式
。
：有两个不等的实数根
：有两个相等的实数根
：有两个不同的复数根，其实规定为无意义就好了，干嘛理会这种情况？
我们再看一下，一元三次方程 ，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考维基百科，但愿大家能够打开。
我们讨论一下 ，此时，一元三次方程可以化为
，其根可以表示为：
其中 。
判别式为 ，注意观察解的形式，
是被包含在根式里面的。
，根为0，当
，三个根里面有两个相等
要想求解三次方程的根，就绕不开复数了吗？后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根，但是在当时并不知道，所以开始思考复数到底是什么？
我们认为虚数可有可无，虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物，只在形式上被定义，但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在，并且成为重要的分支。
1.2 复平面上的单位圆
在复平面上画一个单位圆，单位圆上的点可以用三角函数来表示：
我们来动手玩玩单位圆：
1.3 复平面上乘法的几何意义
同样来感受一下：
2 欧拉公式
对于 ，有
。
----维基百科
欧拉公式在形式上很简单，是怎么发现的呢？
2.1 欧拉公式与泰勒公式
欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的：
将 代入
可得：
那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢？
2.2 对同一个点不同的描述方式
我们可以把 看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点，
通过复平面的坐标来描述单位圆上的点，是同一个点不同的描述方式，所以有
。
2.3 为什么 是圆周运动？
定义 为：
----维基百科
这是实数域上的定义，可以推广到复数域 。根据之前对复数乘法的描述，乘上
是进行伸缩和旋转运动，
取值不同，伸缩和旋转的幅度不同。
我们来看看 如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的：
从图上可以推出 时，
在单位圆上转动了1弧度。
再来看看 ，这个应该是在单位圆上转动
弧度：
看来 确实是单位圆周上的圆周运动。
动手来看看 是如何运动的吧：
2.4 的几何含义是什么？
看不出来有什么几何含义，不过我们稍微做个变换
，几何含义还是挺明显的，沿圆周运动
弧度。
2.5 欧拉公式与三角函数
根据欧拉公式 ，可以轻易推出：
和
。三角函数定义域被扩大到了复数域。
我们把复数当作向量来看待，复数的实部是 方向，虚部是
方向，很容易观察出其几何意义。
2.6 欧拉恒等式
当 的时候，代入欧拉公式：
。
就是欧拉恒等式，被誉为上帝公式，
、
、
、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。