如何通俗地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？
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如何通俗地解释欧拉公式（e^πi+1=0）？
欧拉公式，被誉为上帝公式， e、 i 、 pi 、乘法单位元1、加法单位元0，这五个重要的数学元素全部被包含在内，在数学爱好者眼里，仿佛一行诗道尽了数学的美好。
欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域，建立和三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”。形式简单，结果惊人，欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上，看来必须好好推敲一番。
1 复数
在进入欧拉公式之前，我们先看一些重要的复数概念。
1.1 ii的由来
i=√−1i=−1，这个就是ii的定义。虚数的出现，把实数数系进一步扩张，扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了，虚数只好向二维要空间了。
可是，这是最不能让人接受的一次数系扩张，听它的名字就感觉它是“虚”的：
- 从自然数扩张到整数： 增加的负数可以对应“欠债、减少”
- 从整数扩张到有理数： 增加的分数可以对应“分割、部分”
- 从有理数扩张到实数： 增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度（√22）”
- 从实数扩张到复数： 增加的虚数对应什么？
虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了（即复数开方运算之后得到的仍然是复数）。
看起来我们没有必要去理会√−1−1到底等于多少，我们规定√−1−1没有意义就可以了嘛，就好像1010一样。
我们来看一下，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)的万能公式：其根可以表示为：x=−b±√b2−4ac2ax=−b±b2−4ac2a，其判别式Δ=b2−4acΔ=b2−4ac。
- Δ>0Δ>0： 有两个不等的实数根
- Δ=0Δ=0： 有两个相等的实数根
- $\Delta
我们再看一下，一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)ax3+bx2+cx+d=0(a≠0)，一元三次方程的解太复杂了，这里写不下，大家可以参考 维基百科 ，但愿大家能够打开。
我们讨论一下b=0b=0，此时，一元三次方程可以化为x3+px+q=0x3+px+q=0，其根可以表示为：
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩x1=3√−q2+√(q2)2+(p3)3+3√−q2−√(q2)2+(p3)3x2=ω3√−q2+√(q2)2+(p3