原文作者：oliver-l
转自链接：https://learnku.com/articles/43763
什么是 “平衡⼆叉查找树”？
平衡⼆叉树的严格定义是这样的：⼆叉树中任意⼀个节点的左右⼦树的⾼度相差不能⼤于 1。从这个定义来看，完全⼆叉树、满⼆叉树其实都是平衡⼆叉树，但是⾮完全⼆叉树也有可能是平衡⼆叉树。
平衡⼆叉查找树不仅满⾜上⾯平衡⼆叉树的定义，还满⾜⼆叉查找树的特点。最先被发明的平衡⼆叉查找树是 AVL 树，它严格符合我刚讲到的平衡⼆叉查找树的定义，即任何节点的左右⼦树⾼度相差不超过 1，是⼀种⾼度平衡的⼆叉查找树。
但是很多平衡⼆叉查找树其实并没有严格符合上⾯的定义（树中任意⼀个节点的左右⼦树的⾼度相差不能⼤于 1），⽐如红⿊树，它从根节点到各个叶⼦节点的最⻓路径，有可能会⽐最短路径⼤⼀倍。
平衡⼆叉查找树中 “平衡” 的意思，其实就是让整棵树左右看起来⽐较 “对称”、⽐较 “平衡”，不要出现左⼦树很⾼、右⼦树很矮的情况。这样就能让整棵树的⾼度相对来说低⼀些，相应的插⼊、删除、查找等操作的效率⾼⼀些。
如何定义⼀棵 “红⿊树”？
平衡⼆叉查找树其实有很多，⽐如，Splay Tree（伸展树）、Treap（树堆）等，但是我们提到平衡⼆叉查找树，听到的基本都是红⿊树。它的出镜率甚⾄要⾼于 “平衡⼆叉查找树” 这⼏个字，有时候，我们甚⾄默认平衡⼆叉查找树就是红⿊树，那我们现在就来看看这个 “明星树”。
顾名思义，红⿊树中的节点，⼀类被标记为⿊⾊，⼀类被标记为红⾊。除此之外，⼀棵红⿊树还需要满⾜这样⼏个要求：
- 根节点是⿊⾊的；
- 每个叶⼦节点都是⿊⾊的空节点（NIL），也就是说，叶⼦节点不存储数据；
- 任何相邻的节点都不能同时为红⾊，也就是说，红⾊节点是被⿊⾊节点隔开的；
- 每个节点，从该节点到达其可达叶⼦节点的所有路径，都包含相同数⽬的⿊⾊节点；
为什么说红⿊树是 “近似平衡” 的？
平衡⼆叉查找树的初衷，是为了解决⼆叉查找树因为动态更新导致的性能退化问题。所以，“平衡” 的意思可以等价为性能不退化。“近似平衡” 就等价为性能不会退化的太严重。
⼆叉查找树很多操作的性能都跟树的⾼度成正⽐。⼀棵极其平衡的⼆叉树（满⼆叉树或完全⼆叉树）的⾼度⼤约是 log2n，所以如果要证明红⿊树是近似平衡的，我们只需要分析，红⿊树的⾼度是否⽐较稳定地趋近 log2n 就好了。
⾸先，我们来看，如果我们将红⾊节点从红⿊树中去掉，那单纯包含⿊⾊节点的红⿊树的⾼度是多少呢？
红⾊节点删除之后，有些节点就没有⽗节点了，它们会直接拿这些节点的祖⽗节点（⽗节点的⽗节点）作为⽗节点。所以，之前的⼆叉树就变成了四叉树。
前⾯红⿊树的定义⾥有这么⼀条：从任意节点到可达的叶⼦节点的每个路径包含相同数⽬的⿊⾊节点。我们从四叉树中取出某些节点，放到叶节点位置，四叉树就变成了完全⼆叉树。所以，仅包含⿊⾊节点的四叉树的⾼度，⽐包含相同节点个数的完全⼆叉树的⾼度还要⼩。
完全⼆叉树的⾼度近似 log2n，这⾥的四叉 “⿊树” 的⾼度要低于完全⼆叉树，所以去掉红⾊节点的 “⿊树” 的⾼度也不会超过 log2n。
我们现在知道只包含⿊⾊节点的 “⿊树” 的⾼度，那我们现在把红⾊节点加回去，⾼度会变成多少呢？
从上⾯我画的红⿊树的例⼦和定义看，在红⿊树中，红⾊节点不能相邻，也就是说，有⼀个红⾊节点就要⾄少有⼀个⿊⾊节点，将它跟其他红⾊节点隔开。红⿊树中包含最多⿊⾊节点的路径不会超过 log2n，所以加⼊红⾊节点之后，最⻓路径不会超过 2log2n，也就是说，红⿊树的⾼度近似 2log2n。
所以，红⿊树的⾼度只⽐⾼度平衡的 AVL 树的⾼度（log2n）仅仅⼤了⼀倍，在性能上，下降得并不多。这样推导出来的结果不够精确，实际上红⿊树的性能更好。
实现红⿊树的基本思想
不知道你有没有玩过魔⽅？其实魔⽅的复原解法是有固定算法的：遇到哪⼏⾯是什么样⼦，对应就怎么转⼏下。你只要跟着这个复原步骤，就肯定能将魔⽅复原。
实际上，红⿊树的平衡过程跟魔⽅复原⾮常神似，⼤致过程就是：遇到什么样的节点排布，我们就对应怎么去调整。只要按照这些固定的调整规则来操作，就能将⼀个⾮平衡的红⿊树调整成平衡的。
前面定义了红黑树满足的四点要求，在插⼊、删除节点的过程中，第三、第四点要求可能会被破坏，⽽我们今天要讲的 “平衡调整”，实际上就是要把被破坏的第三、第四点恢复过来。
在正式开始之前，我先介绍两个⾮常重要的操作，左旋（rotate left）、右旋（rotate right）。左旋全称其实是叫围绕某个节点的左旋，那右旋的全称估计你已经猜到了，就叫围绕某个节点的右旋。
插⼊操作的平衡调整
红⿊树规定，插⼊的节点必须是红⾊的。⽽且，⼆叉查找树中新插⼊的节点都是放在叶⼦节点上。所以，关于插⼊操作的平衡调整，有这样两种特殊情况，但是也都⾮常好处理。
- 如果插⼊节点的⽗节点是⿊⾊的，那我们什么都不⽤做，它仍然满⾜红⿊树的定义。
- 如果插⼊的节点是根节点，那我们直接改变它的颜⾊，把它变成⿊⾊就可以了。
除此之外，其他情况都会违背红⿊树的定义，于是我们就需要进⾏调整，调整的过程包含两种基础的操作：左右旋转和改变颜⾊。
红⿊树的平衡调整过程是⼀个迭代的过程。我们把正在处理的节点叫作关注节点。关注节点会随着不停地迭代处理，⽽不断发⽣变化。最开始的关注节点就是新插⼊的节点。
新节点插⼊之后，如果红⿊树的平衡被打破，那⼀般会有下⾯三种情况。我们只需要根据每种情况的特点，不停地调整，就可以让红⿊树继续符合定义，也就是继续保持平衡。
我们下⾯依次来看每种情况的调整过程。提醒你注意下，为了简化描述，我把⽗节点的兄弟节点叫作叔叔节点，⽗节点的⽗节点叫作祖⽗节点。
CASE 1：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是红⾊，我们就依次执⾏下⾯的操作：
- 将关注节点 a 的⽗节点 b、叔叔节点 d 的颜⾊都设置成⿊⾊；
- 将关注节点 a 的祖⽗节点 c 的颜⾊设置成红⾊；
- 关注节点变成 a 的祖⽗节点 c；
- 跳到 CASE 2 或者 CASE 3。
CASE 2：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是⿊⾊，关注节点 a 是其⽗节点 b 的右⼦节点，我们就依次执⾏下⾯的操作：
- 关注节点变成节点 a 的⽗节点 b；
- 围绕新的关注节点 b 左旋；
- 跳到 CASE 3。
CASE 3：如果关注节点是 a，它的叔叔节点 d 是⿊⾊，关注节点 a 是其⽗节点 b 的左⼦节点，我们就依次执⾏下⾯的操作：
- 围绕关注节点 a 的祖⽗节点 c 右旋；
- 将关注节点 a 的⽗节点 b、兄弟节点 c 的颜⾊互换。
- 调整结束。
删除操作的平衡调整
红⿊树插⼊操作的平衡调整还不是很难，但是它的删除操作的平衡调整相对就要难多了。不过原理都是类似的，我们依旧只需要根据关注节点与周围节点的排布特点，按照⼀定的规则去调整就⾏了。
删除操作的平衡调整分为两步，第⼀步是针对删除节点初步调整。初步调整只是保证整棵红⿊树在⼀个节点删除之后，仍然满⾜最后⼀条定义的要求，也就是说，每个节点，从该节点到达其可达叶⼦节点的所有路径，都包含相同数⽬的⿊⾊节点；第⼆步是针对关注节点进⾏⼆次调整，让它满⾜红⿊树的第三条定义，即不存在相邻的两个红⾊节点。
1. 针对删除节点初步调整
这⾥需要注意⼀下，红⿊树的定义中 “只包含红⾊节点和⿊⾊节点”，经过初步调整之后，为了保证满⾜红⿊树定义的最后⼀条要求，有些节点会被标记成两种颜⾊，“红 - ⿊” 或者 “⿊ - ⿊”。如果⼀个节点被标记为了 “⿊ - ⿊”，那在计算⿊⾊节点个数的时候，要算成两个⿊⾊节点。
在下⾯的讲解中，如果⼀个节点既可以是红⾊，也可以是⿊⾊，在画图的时候，我会⽤⼀半红⾊⼀半⿊⾊来表示。如果⼀个节点是 “红 - ⿊” 或者 “⿊ - ⿊”，我会⽤左上⻆的⼀个⼩⿊点来表示额外的⿊⾊。
CASE 1：如果要删除的节点是 a，它只有⼀个⼦节点 b，那我们就依次进⾏下⾯的操作：
- 删除节点 a，并且把节点 b 替换到节点 a 的位置，这⼀部分操作跟普通的⼆叉查找树的删除操作⼀样；
- 节点 a 只能是⿊⾊，节点 b 也只能是红⾊，其他情况均不符合红⿊树的定义。这种情况下，我们把节点 b 改为⿊⾊；
- 调整结束，不需要进⾏⼆次调整。
CASE 2：如果要删除的节点 a 有两个⾮空⼦节点，并且它的后继节点就是节点 a 的右⼦节点 c。我们就依次进⾏下⾯的操作：
- 如果节点 a 的后继节点就是右⼦节点 c，那右⼦节点 c 肯定没有左⼦树。我们把节点 a 删除，并且将节点 c 替换到节点 a 的位置。这⼀部分操作跟普通的⼆叉查找树的删除操作⽆异；
- 然后把节点 c 的颜⾊设置为跟节点 a 相同的颜⾊；
- 如果节点 c 是⿊⾊，为了不违反红⿊树的最后⼀条定义，我们给节点 c 的右⼦节点 d 多加⼀个⿊⾊，这个时候节点 d 就成了 “红 - ⿊” 或者 “⿊ - ⿊”；
- 这个时候，关注节点变成了节点 d，第⼆步的调整操作就会针对关注节点来做。
CASE 3：如果要删除的是节点 a，它有两个⾮空⼦节点，并且节点 a 的后继节点不是右⼦节点，我们就依次进⾏下⾯的操作：
- 找到后继节点 d，并将它删除，删除后继节点 d 的过程参照 CASE 1；
- 将节点 a 替换成后继节点 d；
- 把节点 d 的颜⾊设置为跟节点 a 相同的颜⾊；
- 如果节点 d 是⿊⾊，为了不违反红⿊树的最后⼀条定义，我们给节点 d 的右⼦节点 c 多加⼀个⿊⾊，这个时候节点 c 就成了 “红 - ⿊” 或者 “⿊ - ⿊”；
- 这个时候，关注节点变成了节点 c，第⼆步的调整操作就会针对关注节点来做。
2. 针对关注节点进⾏⼆次调整
经过初步调整之后，关注节点变成了 “红 - ⿊” 或者 “⿊ - ⿊” 节点。针对这个关注节点，我们再分四种情况来进⾏⼆次调整。⼆次调整是为了让红⿊树中不存在相邻的红⾊节点。
CASE 1：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是红⾊的，我们就依次进⾏下⾯的操作：
- 围绕关注节点 a 的⽗节点 b 左旋；
- 关注节点 a 的⽗节点 b 和祖⽗节点 c 交换颜⾊；
- 关注节点不变；
- 继续从四种情况中选择适合的规则来调整。
CASE 2：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是⿊⾊的，并且节点 c 的左右⼦节点 d、e 都是⿊⾊的，我们就依次进⾏下⾯的操作：
- 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜⾊变成红⾊；
- 从关注节点 a 中去掉⼀个⿊⾊，这个时候节点 a 就是单纯的红⾊或者⿊⾊；
- 给关注节点 a 的⽗节点 b 添加⼀个⿊⾊，这个时候节点 b 就变成了 “红 - ⿊” 或者 “⿊ - ⿊”；
- 关注节点从 a 变成其⽗节点 b；
- 继续从四种情况中选择符合的规则来调整。
CASE 3：如果关注节点是 a，它的兄弟节点 c 是⿊⾊，c 的左⼦节点 d 是红⾊，c 的右⼦节点 e 是⿊⾊，我们就依次进⾏下⾯的操作：
- 围绕关注节点 a 的兄弟节点 c 右旋；
- 节点 c 和节点 d 交换颜⾊；
- 关注节点不变；
- 跳转到 CASE 4，继续调整。
CASE 4：如果关注节点 a 的兄弟节点 c 是⿊⾊的，并且 c 的右⼦节点是红⾊的，我们就依次进⾏下⾯的操作：
- 围绕关注节点 a 的⽗节点 b 左旋；
- 将关注节点 a 的兄弟节点 c 的颜⾊，跟关注节点 a 的⽗节点 b 设置成相同的颜⾊；
- 将关注节点 a 的⽗节点 b 的颜⾊设置为⿊⾊；
- 从关注节点 a 中去掉⼀个⿊⾊，节点 a 就变成了单纯的红⾊或者⿊⾊；
- 将关注节点 a 的叔叔节点 e 设置为⿊⾊；
- 调整结束。