第5章 行列式

行列式的概念起源于线性方程组的求解

• 定义 5.1 数域F$F$上的一个n阶行列式是取值于F$F$的n个n维向量(α1,⋯,αn)∈Fn$({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_n)\in F^n$的一个函数，而且∀αi,βi∈Fn$\mathrm{\forall }{\alpha }_i,{\beta }_i\in F^n$和∀λ∈F$\mathrm{\forall }\lambda \in F$，满足以下规则：
  （1）D(α1,⋯,λαi,⋯,αn)=λD(α1,⋯,αi,⋯,αn)$D({\alpha }_1,\cdots ,\lambda {\alpha }_i,\cdots ,{\alpha }_n)=\lambda D({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_i,\cdots ,{\alpha }_n)$
  （2）D(α1,⋯,αi+βi,⋯,αn)=D(α1,⋯,αi,⋯,αn)+D(α1,⋯,βi,⋯,αn)$D({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_i+{\beta }_i,\cdots ,{\alpha }_n)=D({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_i,\cdots ,{\alpha }_n)+D({\alpha }_1,\cdots ,{\beta }_i,\cdots ,{\alpha }_n)$
  （3）D(α1,⋯,αi,⋯,αj,⋯,αn)=−D(α1,⋯,αj,⋯,αi,⋯,αn)$D({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_i,\cdots ,{\alpha }_j,\cdots ,{\alpha }_n)=-D({\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_j,\cdots ,{\alpha }_i,\cdots ,{\alpha }_n)$
  （4）D(e1,e2,⋯,en)=1$D(e_1,e_2,\cdots ,e_n)=1$

定义有递归的意味，满足线性、对换反号、D(I)=1。
至于结果是唯一的吗？

• 性质1 若行列式中有一行为零向量，那么行列式值是0

  根据定义(1)

• 性质2 若行列式有两列元素相等，则行列式的值是0

  根据定义(3)

• 性质3 若行列式有两列元素成比例，则行列式的值等于0

  根据定义(1)和性质2

• 性质4 将某一列乘以常数加到另一列（不同列），行列式值不变

• 性质5 若列线性相关，则行列式的值是0

有了这些性质，计算行列式会方便很多。到这里都是列操作的性质，那么行操作呢？

• 性质6 |AT|=|A|$|A^T|=|A|$

证明：若r(A)小于n，则都是0。
若r(A)=n，则A可逆。A=P1P2⋯Pk$A=P_1{P}_2\cdots P_k$(化为单位矩阵的过程得到这些P)。Pk$P_k$是初等矩阵。AT=PTk⋯PT1$A^T=P_k^T\cdots P_1^T$，有|Pk|=|PTk|$|P_k|=|P_k^T|$，所以得证

• |AT|=|A||T|$|AT|=|A||T|$，T是初等矩阵

• 定义 5.2 在n阶行列式D=|aij|n×n$D=|a_{ij}{|}_{n\times n}$中，去掉元素aij$a_{ij}$所在的第i行和第j列的所有元素而得到的n-1阶行列式，称为元素aij$a_{ij}$的余子式，记作Mij$M_{ij}$，并把数

  Aij=(−1)i+jMij$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$
  
  称为元素aij$a_{ij}$的代数余子式

• 定理 5.1 设D=|aij|n×n$D=|a_{ij}{|}_{n\times n}$，则
  

  D=∑k=1nakjAkj=∑k=1naikAik$$D=\sum _{k=1}^n{a}_{kj}{A}_{kj}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{A}_{ik}$$
  
  分别是D对第j列的展开式和D对第i行的展开式。

• 定理 5.3 A,B是n×n的矩阵，则|AB|=|A||B|$|AB|=|A||B|$

  证明：当r(B)<=n-1时，都是0
  当r(B)=n时，B=P1P2⋯Pk$B=P_1{P}_2\cdots P_k$

• 定理 5.4 A可逆⟺|A|≠0$⟺|A|\ne 0$

• 定义 5.4 矩阵A=(aij)m×n$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$的非零子式的最高阶数r称为A的行列式秩

• 定理 5.5 秩（A）=r ⟺$⟺$A的行列式的秩是r

线性方程组解——Cramer法则