形式语言与自动机之二 有限自动机和右线性文法

（二）有限自动机和右线性文法

讨论语言，从生成语言的角度可以使用前面定义的文法进行定义，从识别语言的角度可以使用自动机进行定义，而正则式是特殊的对应3型文法的可以直接体现语言的模式。本章讨论3型文法对应的语言，文法角度的右线性文法、左线性文法也即3型文法，识别角度的有限自动机，正则式都是等价的定义。这篇文章的逻辑将是介绍三种定义，证明其等价性，介绍其性质。

有限自动机

$Def.$Def.有限自动机
有限即有限状态，但这里（参考教材）没有定义“有限”，猜测是可列有限的定义。

$Def.$Def.确定的有限自动机(DFA)
后继状态唯一

$Def.$Def.不确定的有限自动机(NFA)
后继状态不唯一

有限自动机的表示

状态转移表

状态转换图

形式定义

确定的有限自动机是一个五元组$M=(Q,T,\delta,q_0,F)$M=(Q,T,δ,q0​,F)，其中$Q$Q是有限状态集合，$T$T是有限的输入字母表，$\delta$δ是转换函数，$Q ×T \rightarrow Q$Q×T→Q的映射，$q_0$q0​是初始状态，只有一个状态，$F$F是终止状态集，可以多个状态。

$\delta$δ函数这样表达：在状态$q$q，读入$a$a后，状态转换成$p$p，则$\delta(q,a)=p$δ(q,a)=p。

$\delta '$δ′函数是映射$Q ×T ^*\rightarrow Q$Q×T∗→Q，即输入可以是字符串。其递归定义为：

• 对$\varepsilon \in T^*，\delta'(q,\varepsilon)=q;$ε∈T∗，δ′(q,ε)=q;
• 对任意$a \in T, \omega \in T^*，\delta'(q,\omega a)=\delta(\delta'(q,\omega),a)$a∈T,ω∈T∗，δ′(q,ωa)=δ(δ′(q,ω),a)

$Def.$Def.若$\delta'(q,\omega)=p, p \in F$δ′(q,ω)=p,p∈F 称$\omega$ω被该有限自动机接受；$L(M)=\{\omega | \delta'(q_0,\omega) \in F\}$L(M)={ω∣δ′(q0​,ω)∈F}为M所接受的语言。

$Def.$Def.格局
$(q,\omega)$(q,ω)，其中$q$q当前状态，$\omega$ω为当前时刻等待输入的字符。称$(q_0,\omega)$(q0​,ω)为初始格局，$(q,\varepsilon)$(q,ε)为终止格局（或接受格局）。

当$\delta(q,a)$δ(q,a)含有$q_1$q1​，用格局形式可以写成$(q,a\omega) \vdash(q_1,\omega)$(q,aω)⊢(q1​,ω)其中$\omega \in T^*$ω∈T∗，$\vdash$⊢表示从一个格局变换为另一个格局。若 $\omega$ω 可以被状态机 $M$M 接受，可以写作 $\vdash$⊢ 横线上加*，左边为 $(q_0,\omega)$(q0​,ω) ，右边为$(q,\varepsilon)$(q,ε)。

不确定有限自动机

其定义在确定有限自动机上做部分更改。

1. $\delta$δ 函数是$Q × T \rightarrow 2^Q$Q×T→2Q
2. 接受的定义改为，接受一个字符串后进入的状态集，至少有一个状态属于$F$F。
3. 注意状态转移表中每一项的后继状态都是一个集合，无论状态数有多少
4. $\delta'$δ′定义也不同，可以自己推想知

能力要求

1. 给出识别要求设计有限自动机
2. 将不确定有限自动机转换为确定有限自动机