形式语言与自动机 Part 3.有限自动机

课程名：形式语言与自动机

作者：Lupinus_Linn

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引用：

• 本文中部分文字与图片引用自北京邮电大学计算机学院王柏教授的《形式语言与自动机》课程课件。
• 绪论中的证明方法部分引自清华大学王生原老师课件。
• 部分题目插图引用自北京邮电大学出版社《形式语言与自动机 第二版》教材。

在此一并表示感谢，并不做商业用途。

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Part.1绪论, Part.2 语言与文法
Part 3.有限自动机
Part.4 正则语言，2DFA，Mealy&Moore机
Part.5 上下文无关语言与下推自动机(PDA)
Part.6 图灵机

文章目录

• Part 3.有限自动机
• 3.1 五要素
• 3.2 一个DFA的定义
• 3.3 状态转移图
• 3.4 状态转移表
• 3.5 字符串转移函数$\delta'$δ′
• 3.6 DFA接受的语言
• 3.7 格局
• 3.8 有限自动机的设计
• 3.8.1 识别所有由奇数个a和奇数个b组成的字符串
• 3.8.2 识别包含000子串的语言
• 3.8.3 识别字符串代表的数字能被3整除的语言
• 3.8.4 长度为1-3 个字符且字母为首的语言
• 3.9 NFA的五要素
• 3.10 NFA的字符串转移函数$\delta '$δ′
• 3.11 NFA接受的语言
• 3.12 NFA与DFA的等价性
• 3.13 子集构造法
• 3.14 $\epsilon-NFA$ϵ−NFA的五要素
• 3.15 $\epsilon-CLOSURE$ϵ−CLOSURE
• 3.16 $\epsilon-NFA$ϵ−NFA的字符串转移函数$\delta'$δ′
• 3.17 $\epsilon-NFA$ϵ−NFA与$NFA$NFA的等价性
• 3.18 $\epsilon-NFA$ϵ−NFA的消空
• 3.19 自动机的求补

Part 3.有限自动机

• 具有离散输入输出系统的一种数学模型 (可以没有输出，比较特殊的也可以没有输入).
• 有限的状态
• 状态+输入→状态转移
• 每次转换的后继状态都唯一 → DFA，每次转换的后继状态不唯一→NFA

3.1 五要素

• 有限状态集$Q$Q
• 有限输入符号集$T$T
• 转移函数$\delta:Q×T \rarr Q$δ:Q×T→Q:
• 一个开始状态$q_0,q_0\in Q$q0​,q0​∈Q
• 一个终态集合$F,F\subseteq Q$F,F⊆Q

3.2 一个DFA的定义

• $M= (Q, T, δ, q0 , F)$M=(Q,T,δ,q0,F)
• $Q = \{q0 , q1 , q2 , q3 \}$Q={q0,q1,q2,q3}
• $T = \{0, 1 \}$T={0,1}
• $\delta(q0 ,0) = q2 , \delta(q0 ,1) = q1$δ(q0,0)=q2,δ(q0,1)=q1
  $\delta(q1 ,0) = q3 , \delta(q1 ,1) = q0$δ(q1,0)=q3,δ(q1,1)=q0
  $\delta(q2 ,0) = q0 , \delta(q2 ,1) = q3$δ(q2,0)=q0,δ(q2,1)=q3
  $\delta(q3 ,0) = q1 , \delta(q3 ,1) = q2$δ(q3,0)=q1,δ(q3,1)=q2
• $q0$q0
• $F = \{q0 , q3 \}$F={q0,q3}

3.3 状态转移图

3.4 状态转移表

3.5 字符串转移函数$\delta'$δ′

$\delta' :Q\times T^*\rarr Q$δ′:Q×T∗→Q
对于任何$q\in Q$q∈Q，定义

1. $\delta'(q,\epsilon)=q$δ′(q,ϵ)=q。即空串转移到本状态。
2. 如果$\omega \in T^*,a\in T$ω∈T∗,a∈T,定义$\delta'(q,\omega a)=\delta(\delta'(q,\omega),a)$δ′(q,ωa)=δ(δ′(q,ω),a)。即非空字符串$\omega a|$ωa∣可以看作是其前长度为$|\omega|$∣ω∣的前缀$\omega $和长度为$1$1的字符$a$a组成。

对于DFA，单个字符使用$\delta$δ或者$\delta'$δ′进行转移的结果相同。

3.6 DFA接受的语言

被DFA接收的字符串: 输入结束后使DFA的状态到达终 止状态。否则该字符串不能被DFA接收.

DFA接收的语言: 被DFA接收的字符串的集合.$L(M) = \{ ω | \delta'( q0 , ω) \in F \}$L(M)={ω∣δ′(q0,ω)∈F}

3.7 格局

• 有限自动机工作过程的瞬时描述，由当前状态q，待输入字符串ω构成的二元组(q,ω)表示，称为格局。
• 初始格局：（q0, ω)
• 终止格局： (q,ε), q∈F
• 用格局描述的推导序列：（q0,001010）┝ (q2,01010) ┝ (q0,1010) ┝ (q1,010) ┝ (q3,10) ┝ (q2,0) ┝ (q0,ε)
• 格局数量是无限的。
• 有限状态自动机是无记忆的，其跳转到的状态只与当前状态和输入的字符有关，和以前输入的字符无关。

3.8 有限自动机的设计

3.8.1 识别所有由奇数个a和奇数个b组成的字符串

• 不需要记住所看到的整个字符串，只需记住至此所看到 的a、b个数是偶数还是奇数。

3.8.2 识别包含000子串的语言

DFA

NFA

3.8.3 识别字符串代表的数字能被3整除的语言

• 一个十进制数除以3，余数只能为0、1、2。将其设计为状态。
• 状态q0表示已读入的数字和除3余0
• 状态q1表示已读入的数字和除3余1
• 状态q2表示已读入的数字和除3余2

3.8.4 长度为1-3 个字符且字母为首的语言

$DFA$DFA

$\epsilon-NFA$ϵ−NFA

3.9 NFA的五要素

• NFA是一个五元组,$M=(Q,T,δ,q0,F)$M=(Q,T,δ,q0,F). 其中$δ:Q×T\rarr2^Q$δ:Q×T→2Q,其余与DFA相同.
• NFA的一个状态接受一个字符后转移到一个状态集合，DFA仅仅转移到单个状态。
• 如果接收一个字符串后NFA进入一个状态集, 而此集合中包含一个以上F中的状态, 则称NFA接收该字符串.

3.10 NFA的字符串转移函数$\delta '$δ′

$\delta':Q\times T\rarr 2^Q$δ′:Q×T→2Q

1. $\delta'(q,\epsilon)=\{q\}$δ′(q,ϵ)={q}，不允许空转移到别的状态。
2. $\delta'(q,\omega a)=P,P=\{p | \exists r\in \delta'(q,\omega)∧ \delta(r,a)\}$δ′(q,ωa)=P,P={p∣∃r∈δ′(q,ω)∧δ(r,a)}，即先接受$\omega$ω进行转移，得到一个集合，然后将该集合内的状态再接受$a$a进行转移，将所得状态集并起来。

3.11 NFA接受的语言

• $L(A)=\{\omega | \delta'(q_0,\omega)\cap F\ne \empty\}$L(A)={ω∣δ′(q0​,ω)∩F​=∅}
• 即NFA接受字符串后转移到的状态集合包含F中的状态。

3.12 NFA与DFA的等价性

等价性：接受的语言相相同

1. DFA与NFA等价：显然，因为DFA⊂NFA
2. NFA于NFA等价：使用子集构造法

3.13 子集构造法

精髓：将NFA的状态集合看做DFA的单个状态

方法：设 L 是某个 $NFA\ N = (Q_N, T, \delta_N , q_0 , F_N)$NFA N=(QN​,T,δN​,q0​,FN​) 的语言, 则 存在一个$DFA\ M =(Q_D, T, \delta_D , \{q0 \}, F_D )$DFA M=(QD​,T,δD​,{q0},FD​), 满足$L(M) = L(N) = L$L(M)=L(N)=L.
其中

• $Q_D=2^{Q_N}=\{R|R\subseteq Q_N\}$QD​=2QN​={R∣R⊆QN​}，即DFA的状态集合是NFA的状态的幂集（可以去掉无用状态）。
• $\delta_D(R,a)=\cup_{q\in R}\ \delta_N(q,a)$δD​(R,a)=∪q∈R​ δN​(q,a)，即DFA的转移是NFA转移的并集。
• $F_D=\{R|R\subseteq Q_N ∧ R\cap F_N\ne \empty\}$FD​={R∣R⊆QN​∧R∩FN​​=∅}，即新的DFA的可接受状态集是包含至少一个NFA可接受状态的集合的集合。

例子：

3.14 $\epsilon-NFA$ϵ−NFA的五要素

$\epsilon-NFA$ϵ−NFA是一个五元组$A=(Q,T,δ,q0,F)$A=(Q,T,δ,q0,F)

• 与NFA的区别：$\delta:Q\times(T\cup \{\epsilon\})\rarr 2^Q$δ:Q×(T∪{ϵ})→2Q，即可以使用空串转移。

3.15 $\epsilon-CLOSURE$ϵ−CLOSURE

状态 q 的ε - 闭包，记为 ε - CLOSURE 或 ECLOSE ，定义为从q 经所有的ε路径可以到达 的状态（包括q自身）。

即从q开始，经过零次或多次空转移可以到达的状态集合。

3.16 $\epsilon-NFA$ϵ−NFA的字符串转移函数$\delta'$δ′

$\delta':Q\times (T\times\{\epsilon\}\rarr 2^Q)$δ′:Q×(T×{ϵ}→2Q)

1. $\delta'(q,\epsilon)=\epsilon-CLOSURE(q)$δ′(q,ϵ)=ϵ−CLOSURE(q)，允许空转移到一个状态集合
2. $\delta'(q,\omega a)=\epsilon-CLOSURE(\delta(\delta'(q_0,\omega),a)$δ′(q,ωa)=ϵ−CLOSURE(δ(δ′(q0​,ω),a)，即先按接受$\omega$ω进行$\delta'$δ′转移，得到一个集合，然后将该集合内的状态再接受字符$a$a进行转移，将所得状态集并起来，再求其空闭包.

3.17 $\epsilon-NFA$ϵ−NFA与$NFA$NFA的等价性

1. NFA与ε-NFA等价：显然，因为NFA⊂ε-NFA
2. $\epsilon-NFA$ϵ−NFA于NFA等价：消空

3.18 $\epsilon-NFA$ϵ−NFA的消空

精髓：把$q_x$qx​接受由字符$a$a和若干个空串ε能转移到的所有状态找出来，视为$q_x$qx​接受$a$a转移到这些状态的集合。此时空转移是冗余的，可以全部删掉。

方法：遍历原$\epsilon-NFA$ϵ−NFA的非空转移($q_x$qx​接收字符$a$a转移到某个状态集合)，做以下操作：（实际上在求$\delta_{\epsilon-NFA}'(q_x,a)$δϵ−NFA′​(qx​,a)）

1. 求$q_x$qx​的空闭包$\epsilon-CLOSURE(q_x)$ϵ−CLOSURE(qx​)。
2. 遍历$\epsilon-CLOSURE(q_x)$ϵ−CLOSURE(qx​)的每个状态$q_i$qi​，找出$q_i$qi​接收字符$a$a（不含空转移）后所能到达的状态集合。遍历完成后，将得到的状态集合取并集。
3. 寻找取并集后的集合的空闭包，认为$q_x$qx​接受$a$a后直接到达该空闭包代表的集合，删去所有用到的空转移。

最后，还要对接受状态集合进行修改
$F_{NFA}=\begin{cases}\ F_{\epsilon-NFA}\cup \{q_0\},\epsilon-CLOSURE(q_0)\cap F\ne \empty\\F_{\epsilon-NFA},otherwise\end{cases}$FNFA​={ Fϵ−NFA​∪{q0​},ϵ−CLOSURE(q0​)∩F​=∅Fϵ−NFA​,otherwise​

例子：

3.19 自动机的求补

精髓：自动机求补其实是语言求补，有的语言正面设计自动机比较麻烦，可以考虑其补语言后，再对该自动机求补。
方法：对于$L_1$L1​，构造$\bar L$Lˉ的自动机$M=(Q,T,\delta,q_0,F)$M=(Q,T,δ,q0​,F)的步骤如下

1. $Q=Q_1\cup \{\gamma\}$Q=Q1​∪{γ}，$\gamma$γ用于使得原先自动机中会被卡住的转移在求补后被接受。

2. $\delta$δ:

   1. 继承已有转移。
   2. 被卡死的转移，现在转到$\gamma$γ状态被接受。
   3. $\gamma$γ状态接受任何字符都在原地转圈。

   $\delta_1(q,a)=\delta(q,a)\\ \delta_1(q,a)=\empty\to\delta(q,a)=\gamma\\ \delta(\gamma,T)=\gamma$δ1​(q,a)=δ(q,a)δ1​(q,a)=∅→δ(q,a)=γδ(γ,T)=γ

3. $F=(Q_1-F_1)\cup \{\gamma\}$F=(Q1​−F1​)∪{γ}。原自动机不被接受的状态被接收，增加$\gamma$γ被接受。

例子：$T=\{a,b\}$T={a,b}，L中的任意三个连续符号中最多包含2个a，设计接受它的自动机。
分析：
可以先构造L的补语言$\bar L$Lˉ的自动机。
$\bar L$Lˉ的描述是：存在连续的三个字符，其包含大于2个a。
这句话可以转述为：存在aaa子串。
$\bar L$Lˉ的自动机很容易画出。
（注：区分连续的字符和累积的字符：连续的字符失败后要回到开始，累积的字符失败后在原地转圈。如果是后缀匹配的话，要找到最长后缀匹配的上一个状态。）
$\bar L$Lˉ的自动机

再对其求补，得$L$L的自动机为