形式语言自动机（1）—— 预备知识

• 形式语言自动机课程笔记
• 学到编译原理的时候用到了文法相关概念，复习自动机正好把以前的笔记整理一下也贴上来

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文章目录

• 一、集合及集合的基本运算
• （0）集合
• （1）交并差补
• （2）幂集
• （3）笛卡尔积
• （4）关系
• 二、字母表，字符串和语言
• （1）字母表
• （2）字符串
• （3）语言

一、集合及集合的基本运算

（0）集合

• 集合（set）：一组可区分的对象的全体称为集合，而这些对象称为集合的元素（element）
• 集合的描述：

描述方式	适用	规则	例子
列举法	元素个数较少的集合	直接把元素全部列出	S={a,b,c,d}
形式化描述	元素个数较多的集合特别是由无穷多个元素组成的集合	{x│P(x)}	S={n│n是偶数}

（1）交并差补

一张图不解释

（2）幂集

• 幂集：集合A的幂集为A的所有子集之集，记$2^A$2A
• 例：
  • A={a,b,c}，
    则 $2^A= \{ B∣B \subseteq A\}=\{ \Theta ,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\}$2A={B∣B⊆A}={Θ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

（3）笛卡尔积

• 笛卡尔积：集合的笛卡尔积 $A\times B=\{(a,b)|a∈A,b∈B\}$A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}，其中(a,b)称为有序对
• 注意：有序对有先后关系，所以一般 $A\times B \neq B\times A$A×B​=B×A
• 例：
  • 设 A={1,2 }，B = {a,b,c},
    则$A\times B=\{ (1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c) \}$A×B={(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}

（4）关系

1. 关系R：$设有集合A,B，a∈A，b∈B$设有集合A,B，a∈A，b∈B

   • 由集合A到集合B的关系，是AxB的任何子集。
   • (a,b)∈R，写作aRb。
   • 本质上是有序对的集合，看作A到B的一个映射
   • 若A=B，称A上的关系；否则称A到B的关系

2. 关系的k次积$R^k$Rk：$设有集合A，a_1,a_2∈A$设有集合A，a1​,a2​∈A

   • 递归定义：
     1. $a_1R^1a_2$a1​R1a2​ <=> $a_1R a_2$a1​Ra2​
     2. $a_1R^ia_2$a1​Ria2​ <=> $存在b \in A,使a_1Rb且bR^{i-1}a_2, (i=2,3..k）$存在b∈A,使a1​Rb且bRi−1a2​,(i=2,3..k）
   • 看作在A上映射了k-1次

3. 关系的传递闭包$R^+$R+：$设有集合A，a_1,a_2∈A$设有集合A，a1​,a2​∈A

   • $a_1R^+a_2$a1​R+a2​ <=> $a_1R^ia_2 （i=1,2,3..）$a1​Ria2​（i=1,2,3..）
     即$R^+=\cup_{i≥1}R^i$R+=∪i≥1​Ri
   • 看作在A上映射了任意多次（不含0次）

4. 关系的自反传递闭包$R^*$R∗：$设有集合A，a_1,a_2∈A$设有集合A，a1​,a2​∈A

   • 规定$R^0$R0：$a_1R^0a_2 <=> a_1=a_2$a1​R0a2​<=>a1​=a2​，则$R^*=R^0\cup R^+$R∗=R0∪R+
   • 只比R+多一些形如(a,a)的，看作看作在A上映射了任意多次，（含0次）

二、字母表，字符串和语言

（1）字母表

1. 字母表(Σ)：字母符号的有限非空集。（这里的字母符号不是指狭义的英文字符，可以是数字，也可以加号下划线之类的任何符号）

（2）字符串

1. 字符串：在Σ上定义的符号串称字符串，定义：
   1. ε为空串，它不含任何Σ上的符号
   2. 若X为Σ上符号串，a∈Σ，则Xa是Σ上符号串
   3. Y为Σ上符号串 <=> Y由1、2推出
2. 空串（ε）： 特殊字符串，由0个符号组成
   1. 不是空白符号( 空格也是一个符号 )
   2. 任何Σ中都有ε
   3. 空串和其他串拼接时失去作用：Xε=εX=X
3. 字符串术语：
   1. 字符串的连接：若X.Y为Σ上符号串，则XY也是Σ上符号串
   2. 字符串的逆转$X^R$XR：将字符串中各符号逆序写出，若X为单个符号串或ε，则$X^R=X$XR=X
   3. 前缀：删去原字符串尾部的零个或多于零个符号
   4. 后缀：删去原字符串的头部的零个或多于零个符号
      • (真)前/后缀：X为XY前缀；若$X\neq XY$X​=XY，X为真前缀（X可为ε）
   5. 子串：从原字符串中删去一个前缀和一个后缀
   6. 子序列：从原字符串中删去零个或多于零个符号(这些符号不要求连续）
   7. 字符串长度$|X|$∣X∣：字符串中字符个数
   8. 字符串的幂$a^n$an : 符号/字符串a连续出现n次
      

（3）语言

1. 语言(L)：对于给定字母表Σ，Σ上字符串的一个集合，称为Σ上的语言
2. 前缀性质：L为某Σ上的一个语言，若L中任意字符串都不是另一个字符串的前缀，则L有~
3. 语言的运算：

   1. 集合基本运算：交并差补（语言是特殊的集合）

   2. 语言的连接：$L_1$L1​和$L_2$L2​的连接 $L_1L_2$L1​L2​ 由下式定义：$L_1L_2=\{xy∣x∈L_1,y∈L_2\}$L1​L2​={xy∣x∈L1​,y∈L2​}（排列组合）

   3. 语言的闭包$L^*$L∗： 递归定义：

      1. $L^0=\{ε\}$L0={ε}
      2. 对于n≥1, $L^n =LL^{n-1}$Ln=LLn−1;
      3. $L^*=∪L^n$L∗=∪Ln

      直观含义：以任意次序连接L中任意多个字符串，所组成的集合）

   4. 语言的正闭包$L^+$L+：$L^+=∪L^n (n>=1)，故L^*=L^0∪L^+$L+=∪Ln(n>=1)，故L∗=L0∪L+
      注意：字母表Σ本身也是Σ上的语言，有Σ*和Σ+类似定义