普吕克坐标Plücker是如何确定一条直线的

描述

在三维空间中，取直线上的两个点$p1p_1p1​$p1p1​p1​和$p2p_2p2​$p2p2​p2​。
令$d=p2−p1,m=p1×p2d = p_2 - p_1, m = p_1 \times p_2d=p2​−p1​,m=p1​×p2​$d=p2−p1,m=p1×p2d=p2​−p1​,m=p1​×p2​d=p2​−p1​,m=p1​×p2​。
将 $p1p_1p1​$p1p1​p1​和$p2p_2p2​$p2p2​p2​ 看作从原点$(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)$(0,0,0)(0,0,0)(0,0,0)出发的两向量。
首先是$ddd$ddd, 由于$d=p2−p1d = p_2 - p_1d=p2​−p1​$d=p2−p1d=p2​−p1​d=p2​−p1​是没有单位化的，所以他有长度也有方向。
$mmm$mmm的几何意义是计算了一个面积（除以2就是三角形的面积）。对于这个面积，我们知道$ddd$ddd是有长度的（底的长度确定），所以其实$mmm$mmm也刻画了高的信息（面积是确定的，三角形的底是确定的=>从而确定了高的长度）。如果单看这个高的约束对应到垂足，其实只是定义了一个圆。而此时，回到$d=p2−p1d = p_2 - p_1d=p2​−p1​$d=p2−p1d=p2​−p1​d=p2​−p1​, $ddd$ddd约束方向，也就是可以确定到底是圆上的哪个垂足对应的直线。
这样子其实就可以确定空间中唯一的直线了。

解释

有的小伙伴说，在计算$m=p1×p2m = p_1 \times p_2m=p1​×p2​$m=p1×p2m=p1​×p2​m=p1​×p2​面积时，一个面积时多种情况的。这是显然的。

所以此时$ddd$ddd的方向性和长度就起到确定作用了
因为首先$ddd$ddd约束了方向，对于那些方向不一致的，我们自然排除。

上图就是方向一致后的情况。别忘了$ddd$ddd同样约束了长度信息——同一个直线上的分布在不同位置的这样的相同长度的线段其实对应着同样的高。
所以通过$d,md,md,m$d,md,md,m是可以确定空间中唯一的直线的。