无外力矩情况下的刚体旋转

如果系统不受外力矩，则总角动量是常数，刚体的旋转动能也是常数。
把角动量矢量$\boldsymbol{H}$H按照本体组坐标系$\mathcal{B}$B进行展开
$\boldsymbol{H}=^{\mathcal{B}} \boldsymbol{H}=H_{1} \hat{\boldsymbol{b}}_{1}+H_{2} \hat{\boldsymbol{b}}_{2}+H_{3} \hat{\boldsymbol{b}}_{3}\tag{1}$H=BH=H1​b^1​+H2​b^2​+H3​b^3​(1)
注意到$\dot{\boldsymbol{H}}$H˙是相对于惯性坐标系$\mathcal{N}$N的导数。因为$\dot{\boldsymbol{H}}=0$H˙=0，因此只有在$\mathcal{N}$N坐标系下看去，角动量矢量才是0。因此，在$\mathcal{B}$B坐标系下，矢量$\boldsymbol{H}$H不是常数，而是会变化。因此，$\mathcal{B}$B下的矢量分量$H_{i}$Hi​是时变的。然而，$\boldsymbol{H}$H的模长在所有坐标系中都是常数。
下面假定坐标系$\mathcal{B}$B与惯性主轴重合，因此惯性矩阵是对角阵。角动量矢量可以写为
$H=^{B} \boldsymbol{H}=^{B}\left(\begin{array}{l} H_{1} \\ H_{2} \\ H_{3} \end{array}\right)=^{\mathcal{B}}\left(\begin{array}{l} I_{1} \omega_{1} \\ I_{2} \omega_{2} \\ I_{3} \omega_{3} \end{array}\right) \tag{2}$H=BH=B⎝⎛​H1​H2​H3​​⎠⎞​=B⎝⎛​I1​ω1​I2​ω2​I3​ω3​​⎠⎞​(2)
因为角动量的模是常数，因此所有可能的角速度矢量必须在如下动量椭球的表面上
$H^{2}=\boldsymbol{H}^{T} \boldsymbol{H}=I_{1}^{2} \omega_{1}^{2}+I_{2}^{2} \omega_{2}^{2}+I_{3}^{2} \omega_{3}^{2} \tag{3}$H2=HTH=I12​ω12​+I22​ω22​+I32​ω32​(3)
同时因为动能也是常数，因此角速度也必须在如下能量椭球的表面
$T=\frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2}+\frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2}+\frac{1}{2} I_{3} \omega_{3}^{2} \tag{4}$T=21​I1​ω12​+21​I2​ω22​+21​I3​ω32​(4)
因此，对于无外力矩刚体，角速度必须满足以上两个等式。相应的几何解释就是，$\omega(t)$ω(t)必须在角动量椭球和能量椭球的交线上。
为便于上述椭球交线的可视化，将椭球按照$\mathcal{B}$B坐标系角动量矢量分量$H_i$Hi​来表示, 而不是用角速度分量$(\omega_i)$(ωi​)。当利用$H_i$Hi​作为独立的坐标分量，则动量椭球变成动量球。
$H^{2}=H_{1}^{2}+H_{2}^{2}+H_{3}^{2} \tag{5}$H2=H12​+H22​+H32​(5)
能量椭球变为：
$1=\frac{H_{1}^{2}}{2 I_{1} T}+\frac{H_{2}^{2}}{2 I_{2} T}+\frac{H_{3}^{2}}{2 I_{3} T} \tag{6}$1=2I1​TH12​​+2I2​TH22​​+2I3​TH32​​(6)
其中，$\sqrt{2} I_{i} T$2​Ii​T是对应的半轴。
以上两个椭球的交线形成了可能的$\omega(t)$ω(t)的轨迹。很明显，对于一个给定的$|\boldsymbol{H}|$∣H∣，动能肯定存在一个取值范围。当下讨论$|\boldsymbol{H}|$∣H∣的模长为常数时，动能的取值范围。同时假定转动惯量$I_i$Ii​满足
$I_{1} \geq I_{2} \geq I_{3} \tag{7}$I1​≥I2​≥I3​(7)
根据上述的转动惯量顺序，能量椭球最大的半轴$\sqrt{2} I_{1} T$2​I1​T对应于$\hat{\boldsymbol{b}}_{1}$b^1​轴，能量椭球最小的半轴对应于$\hat{\boldsymbol{b}}_{3}$b^3​轴，如下图所示。

公式(6)表明$T$T的变化将会按比例放大或缩小能量椭球，然而其整体形状和各方面比例保持不变。
有三种特殊的能量情形：由于动能椭球和动量椭球必须相交，$T$T所能取到的最小值是使得最大半轴等于$H=|\boldsymbol{H}|$H=∣H∣。在这种情况下，动量椭球完美包裹了能量椭球。二者唯一的交点是
$^{\mathcal{B}} \boldsymbol{H}=\pm H \hat{\boldsymbol{b}}_{1} \tag{8}$BH=±Hb^1​(8)
因此，对于最小动能的情形，刚体$\mathcal{B}$B绕着最大的惯性主轴$\hat{\boldsymbol{b}}_{1}$b^1​进行纯旋转，对应的动能为
$T_{\mathrm{min}}=\frac{H^{2}}{2 I_{1}} \tag{9}$Tmin​=2I1​H2​(9)
进一步增大$T$T,则下一个特殊的情况是能量椭球的中间半轴等于$H$H。两个椭球的交线被称为sepratrix。任何沿着sepratrix的运动其动能为:
$T_{\text {int }}=\frac{H^{2}}{2 I_{2}} \tag{10}$Tint ​=2I2​H2​(10)
注意：当刚体绕着中间惯性主轴$\hat{\boldsymbol{b}}_{2}$b^2​进行纯旋转时，任何小的扰动都会引起"翻滚"。
当动能进一步增大到其最大的情况，动能椭球完美地包裹动量球。这个最大的动能
$T_{\max }=\frac{H^{2}}{2 I_{3}} \tag{11}$Tmax​=2I3​H2​(11)
对应于最小惯性主轴$\hat{\boldsymbol{b}}_{3}$b^3​的纯旋转，因为两个球的仅有的交点是
$^{B} \boldsymbol{H}=\pm H \hat{\boldsymbol{b}}_{3} \tag{12}$BH=±Hb^3​(12)

对于刚体运动一般情况，一旦确定了初始的动能$T$T和角动量矢量$\boldsymbol{H}$H，角速度矢量$\boldsymbol{\omega}$ω理论上将会永远按照某个特定的交线运动。这是在不考虑能量耗散的情况。当然，现实中这是不可能的。
下图显示了不同能量情况的交线族。

下面研究绕着最小惯量主轴$\hat{\boldsymbol{b}}_{3}$b^3​旋转的情况。对于给定的角动量，这对应着最大能量的情况。随着能量耗散，能量椭球减小，刚体将会围绕着最小主轴$\hat{\boldsymbol{b}}_{3}$b^3​摇摆。一段时间过后，角速度矢量$\omega(t)$ω(t)将会和sepratrix相交，刚体开始绕着最大主轴$\hat{\boldsymbol{b}}_{1}$b^1​摇摆。最后，当能量级别到达最小能量椭球，刚体将会绕着$\hat{\boldsymbol{b}}_{1}$b^1​进行纯旋转。因此，当考虑能量耗散时，只有绕着最大惯量主轴的旋转才是稳定的。绕着$\hat{\boldsymbol{b}}_{3}$b^3​的纯旋转将会变得不稳定。
如果刚体近似绕着最大主轴$\hat{\boldsymbol{b}}_{1}$b^1​自旋，那么角速度$\omega(t)$ω(t)将会绕着$\hat{\boldsymbol{b}}_{1}$b^1​或$H_{1}$H1​逆时针旋转。如果刚体近似绕着最小主轴$\hat{\boldsymbol{b}}_{3}$b^3​自旋，那么角速度$\omega(t)$ω(t)将会绕着$\hat{\boldsymbol{b}}_{1}$b^1​或$H_{3}$H3​顺时针旋转。
下面考虑两种特殊情况$I_1=I_2$I1​=I2​以及$I_1=I_2=I_3$I1​=I2​=I3​。
对于$I_1=I_2$I1​=I2​，根据欧拉公式
$\begin{array}{l} I_{11} \dot{\omega}_{1}=-\left(I_{33}-I_{22}\right) \omega_{2} \omega_{3}+L_{1} \\ I_{22} \dot{\omega}_{2}=-\left(I_{11}-I_{33}\right) \omega_{3} \omega_{1}+L_{2} \\ I_{33} \dot{\omega}_{3}=-\left(I_{22}-I_{11}\right) \omega_{1} \omega_{2}+L_{3} \end{array} \tag{13}$I11​ω˙1​=−(I33​−I22​)ω2​ω3​+L1​I22​ω˙2​=−(I11​−I33​)ω3​ω1​+L2​I33​ω˙3​=−(I22​−I11​)ω1​ω2​+L3​​(13)
可得$\dot{\omega}_{3}=0$ω˙3​=0，因此$\omega_{3}(t)=\omega_{3}\left(t_{0}\right)$ω3​(t)=ω3​(t0​)是常数。因此，能量椭球在$H_1$H1​和$H_2$H2​方向上有相同的半轴。在这种情况下，交线是围绕$H_3$H3​的圆轨迹。因为$I_{1}=I_{2}>I_{3}$I1​=I2​>I3​，角速度$\omega(t)$ω(t)以顺时针方向绕着$H_3$H3​旋转。
在动量球的赤道平面上，在动量球的赤道平面$(H_1,H_2)$(H1​,H2​)上有一种特殊的运动形式。注意到此时$H_3=\omega_3=0$H3​=ω3​=0，同时对于轴对称物体有
$\omega_3(t)=\omega_3(t_0)=0 \tag{14}$ω3​(t)=ω3​(t0​)=0(14)
同时，根据欧拉方程，可得在此情形下
$\omega_{3}(t)=\omega_{3}\left(t_{0}\right)=0 \tag{15}$ω3​(t)=ω3​(t0​)=0(15)
这说明如果$\omega_3=0$ω3​=0，那么$\omega_1$ω1​和$\omega_1$ω1​都是常数。这些常值角速度就是动量球赤道上的点。
对于$I_1=I_2=I_3$I1​=I2​=I3​的情况，根据欧拉方程，有
$\dot{\omega}_{1}=\ddot{\omega}_{2}=\ddot{\omega}_{3}=0 \tag{16}$ω˙1​=ω¨2​=ω¨3​=0(16)
因此，所有的$\omega_i$ωi​都是常数。从几何角度来看，这表明能量椭球变成与动量椭球一模一样的球。因此，球上的每一个离散的点都是两个球的交线。