机构运动学（一）——姿态、坐标

1 末端姿态表示

两种末端操作器的姿态表示方法

• ①欧拉(Euler)角表示法
  如(a)所示，以Euler($\varphi$φ,$\theta$θ,$\eta$η)对末端姿态进行表示，绕坐标轴线的旋转顺序为Rot($z$z,$\varphi$φ)→$x'y'z$x′y′z→Rot($y'$y′,$\theta$θ)→$x''y'z'$x′′y′z′→Rot($z'$z′,$\eta$η)→$x'''y''z'$x′′′y′′z′，则末端操作器的坐标系xyz此时与x’’‘y’'z’完全重合。
• ②Roll-Pitch-Yaw表示法
  如(b)所示，以($\theta_r$θr​,$\theta_p$θp​,$\theta_y$θy​)对末端操作器的姿态进行表示，绕坐标轴线的旋转顺序为Rot($z$z,$\theta_r$θr​)→Rot($y$y,$\theta_p$θp​)→Rot($x$x,$\theta_y$θy​)
  

2 坐标系的表示和坐标变换

1. 物体和坐标系
物体坐标系内一点$P$P标记为$^{obj}P$objP，可用矢量形式表示为：
$^{obj}P=[^{obj}P_x,^{obj}P_y,^{obj}P_z]^T$objP=[objPx​,objPy​,objPz​]T

2. 坐标变换

• ①回转变换
  物体坐标系$\sum_{obj}$∑obj​与绝对坐标系$\sum_{abs}$∑abs​间的坐标轴回转变换关系为矩阵A，则物体上点P在绝对坐标系$\sum_{abs}$∑abs​中的矢量表示$^{abs}P$absP为：
  $^{abs}P=\left[ \begin{matrix} ^{abs}P_x \\ ^{abs}P_y \\ ^{abs}P_z \end{matrix} \right]=[A]·^{obj}P+^{abs}P_0$absP=⎣⎡​absPx​absPy​absPz​​⎦⎤​=[A]⋅objP+absP0​
  如绕参考坐标系$o-xyz$o−xyz的$z$z轴旋转了$\theta$θ角：
  $f(x)=\left\{ \begin{aligned} x_a & = x_0cos\theta-y_0sin\theta\\ y_a & = x_0sin\theta + y_0cos\theta\\ z_a & = z_0 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x_a \\ y_a \\ z_a\end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta &0\\ sin\theta&cos\theta&0 \\ 0&0&1\end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0\end{matrix} \right] \Rightarrow$f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​xa​ya​za​​=x0​cosθ−y0​sinθ=x0​sinθ+y0​cosθ=z0​​⇒⎣⎡​xa​ya​za​​⎦⎤​=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​⎣⎡​x0​y0​z0​​⎦⎤​⇒
  $R(z,\theta)=\left[ \begin{matrix} cos\theta & -sin\theta &0\\ sin\theta&cos\theta&0 \\ 0&0&1\end{matrix} \right]$R(z,θ)=⎣⎡​cosθsinθ0​−sinθcosθ0​001​⎦⎤​
  同理可得：
  $R(y,\theta)=\left[ \begin{matrix} cos\theta & 0 &sin\theta\\ 0&1&0 \\ -sin\theta&0&cos\theta\end{matrix} \right]$R(y,θ)=⎣⎡​cosθ0−sinθ​010​sinθ0cosθ​⎦⎤​
  $R(x,\theta)=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 &0\\ 0&cos\theta&-sin\theta \\ 0&sin\theta&cos\theta\end{matrix} \right]$R(x,θ)=⎣⎡​100​0cosθsinθ​0−sinθcosθ​⎦⎤​
• ②平移变换
  设两坐标系间的平移变换矢量为$T$T，则：
  $T(p_x,p_y,p_z)=\left[ \begin{matrix} p_x \\ p_y \\ p_z\end{matrix} \right]$T(px​,py​,pz​)=⎣⎡​px​py​pz​​⎦⎤​
• ③齐次变换矩阵
  齐次变换矩阵A，可表示为：