LFSR及小m序列

1 LFSR

线性反馈移位寄存器。

其结构如图所示：

一般地，$r$r级线性反馈移位寄存器惟一地表达为????次幂的多项式$G(x)$G(x)：

$\boldsymbol{G}(\boldsymbol{x})=\sum_{i=0}^{r} \boldsymbol{g}_{i} \boldsymbol{x}^{i}, \quad \boldsymbol{g}_{0}=\boldsymbol{g}_{r}=1$G(x)=i=0∑r​gi​xi,g0​=gr​=1

比如，下图的LFSR可以表示成$G(x)=x^4+x^3+1$G(x)=x4+x3+1。

2 $m$m序列

一个$r$r级二进制移位寄存器最多可以取$2^r$2r个不同的状态。对于线性反馈（模二加运算），其中全零状态将导致反馈始终为零，成为一个全零状态死循环。如果剩余的$2^{r-1}$2r−1个状态构成一个循环，即该循环以$N=2^{r-1}$N=2r−1为周期，则称该循环输出序列为最大周期线性移位寄存器序列（简称$m$m序列)。

能够产生$m$m序列的充要条件是其特征多项式必须为本原多项式（primitive polynomial ）。

3 本原多项式

各个教科书里面都有本原多项式表。下表是从Matlab的帮助文档里面截图下来的。