原地址：https://blog.csdn.net/mathmetics/article/details/9269451
将矩阵抽象为线性变换来考虑是很有必要的，这样会有很多好处：简化符号，简化证明，便于理解逆矩阵等概念，对于将来研究无限维空间也是很有必要的。
1 映射
映射这个概念中学就学过,复习一下：
集合X到集合U上的映射T是定义在X上，取值在U内的一个函数：f(x) =u
记作 T : X->U
一个简单的映射的例子：
2 线性映射
有了之前线性空间等概念，我们直接给出线性映射的定义：
(i) X和U是相同域上的线性空间.X成为域空间，U称为目标空间
(ii)映射T : X->U 如果是可加的( T(X+Y)= T(X)+T(Y) )
并且是齐次的(T(kX) = kT(X)) 则称T为线性映射
记T在x处的值为乘积Tx.
(iii)线性映射又称线性变换或线性算子
线性变换的例子：
(1) f : R->R f(x) = ax+b 线性映射f 将x轴上的每一个数映射到y轴上:
(2) X=U=R^2 ,T表示绕原点转角为的旋转.
3 向量的线性组合
域K上的线性空间中的向量x1,x2,...,xj 的一个线性组合是具有下列形式的向量：
k1x1 + k2x2 + ,...,+ kjxj kj∈K;
特别的，当向量组为单位向量组e1,e2,...,ej(第j个分量是1其余是0的向量)的时候：
任意一个向量X都可以表示为这些单位向量的线性组合：
X = x1e1 + x2e2 +,...,+xjej
4 用矩阵表示线性映射
对于一个R^n 到 R^m 的线性映射T ：u = Tx
将x表示单位向量的线性组合：
5再议矩阵乘法
(1) mxn的矩阵T乘向量x可以理解为将这个n维列向量线性映射为一个m维列向量：
(2) 而一个mxn矩阵乘nxL 矩阵就是先进行一个线性映射再进行一个线性映射.
这叫做线性映射的复合。线性映射的复合是另一个线性映射。映射T和映射S的复合记做：T o S.
将映射表示为矩阵。则线性映射的复合就是对应的矩阵相乘.
(3) 由于复合映射的前一个映射的目标空间是另一个的域空间。所以矩阵乘法要求第一个的列数要等于第二个的行数。
个人补充：将新基矩阵T的每一行向量看做一个用原基向量（i,j,k,...）表示的一个新的轴/基，若共R行，即R维度，新的空间共R个轴，将X的每一列都看做为一组特征向量，每一列的特征相同都是n维的点（x11,x12,..,x1n）(x1表示第一列向量)，只是不同列的赋值不同。相乘的结果为矩阵Y，那么Y内的某个值，即是某列特征在某个轴上的投影大小，Y的某行向量，即是所有特征在某轴上的投影结果，Y的列向量，即是某个特征（原坐标的一个点）在新的空间的投影/新值，R维的点（t1x1,t2x1,...,trx1）。Y矩阵表示的是，原坐标中所有点，通过T坐标空间的转换，得到的新的空间点集合。
可参考文章，知乎：https://www.zhihu.com/question/21351965