在矩阵求导中，因变量可以是标量、向量以及矩阵，而自变量同样如此。
第一个例子：考虑一个向量微积分的梯度，该函数有三个自变量，，则该函数的梯度是：
代表的是一个单位向量。这种广义导数可以看做是标量
对向量
的求导，可以表示为如下形式：
以下表格列出了六种求导的情况。
向量对标量求导：
设y是一个列向量：, x是一个标量，则y对x的求导公式为：
标量对向量求导：
设y是一个标量，x是一个向量：，则y对x的求导公式为：
.
向量对向量求导：
设y是一个m×1的向量：。x是一个1×n的向量：
。则y对x的求导公式为：
矩阵对标量求导：
Y是一个m×n的矩阵，则矩阵Y对标量x的求导为：
标量对矩阵求导：
反过来，标量x对矩阵Y的求导为：
矩阵对矩阵求导：
X是一个m×n的矩阵，
下图是各种求导的布局方式：
分子布局：
以下两种只存在于分子布局中：
分母布局：
可以看出，在分子布局与分母布局之间转换时，实际上是将矩阵进行转置。