CNN感受野计算

感受野指的是一个特定的CNN特征（特征图上的某个点）在输入空间所受影响的区域。
一个感受野可以用中心位置(center location)和大小(size)来表征。然而，对于一个CNN特征来说，感受野中的每个像素值（pixel）并不是同等重要。一个像素点越接近感受野中心，它对输出特征的计算所起作用越大。这意味着某一个特征不仅仅是受限在输入图片中某个特定的区域（感受野），并且呈指数级聚焦在区域的中心。

特征图大小计算公式

假设输入特征图大小为5×5，采用的卷积参数如下：卷积核大小k=3×3，padding大小p=1×1，步长s=2×2。经过一次卷积之后，得到大小为3×3的输出特征图（绿色）。在这个特征图上继续采用相同的卷积，得到一个2×2的特征图（橙色）。输出特征图的大小可以通过如下公式计算:

为了简化，这里假定CNN架构是对称的，并且输入图片是方形的。因此所有的卷积层的所有参数在两个维度上都是相同的。如果CNN架构或者输入图片是非对称的，你可以为各个维度单独计算特征图的属性。

感受野计算公式

为了计算CNN每一层的感受野，除了要知道特征图每个维度的特征数$n$n，还需要记录每一层的其他信息，这包括当前层的感受野大小$r$r，两个相邻特征的距离（跳跃的距离）$j$j，和左上角特征（第一个特征）的中心坐标$start$start。注意感受野（其实是特征图第一个特征的感受野）的中心坐标就等于这个特征的中心坐标，就如前面可视化中所示。当采用的卷积其核大小为$k$k，padding大小为$p$p，步长为$s$s，输出特征图的感受野可以按照如下公式计算：

第一个式子根据输入特征图大小以及卷积参数计算输出特征图大小，前面已经说过。
第二个式子计算输出特征图的特征间的间隔j，其等于上一层的间隔值乘以卷积的步长，所以间隔值将是按照步长呈指数级增长。
第三个式子计算输出特征图的感受野大小，其等于前一层感受野大小加上(k−1)∗jin，所以感受野是呈指数级增加，并且还有一个因子k−1。
第四个式子计算输出特征图的第一个特征感受野的中心坐标，其等于第一层的中心坐标加上(k−1)/2∗jin，再减去p∗jin，注意两项都要乘以前一层的间隔距离以得到实际距离。

对于第一层，一般是输入图片，其各项值为：n=image_size,r=1,j=1,start=0.5。图3给出了一个如何计算感受野的实例，图中的坐标系统中，输入层的第一个特征中心位置记为0.5。通过利用上面公式迭代地进行计算，你可以计算出CNN中所有特征图的感受野信息。

给出一个更简洁的计算公式，对于第k层的感受野大小计算如下：

$l_k = l_{k-1} + ((f_k - 1) * \prod_{i=1}^{k-1}s_i)$lk​=lk−1​+((fk​−1)∗∏i=1k−1​si​)

其中 $l_{k−1}$lk−1​ 是第 $k−1$k−1 层的感受野大小，而 $f_k$fk​ 是当前层的卷积核大小， $s_i$si​ 是第 $i$i 层的步长。
从这个公式可以看到，相比前一层，当前层的感受野大小在两层之间增加了$(f_k - 1) * \prod_{i=1}^{k-1}s_i$(fk​−1)∗∏i=1k−1​si​ ，如果stride大于1的话，这是一个指数级增加。
这个公式也可以这样理解，对于第 $k$k 层，其卷积核为 $f_k$fk​，那么相比前一层需要计算$f_k$fk​个位置（或者神经元，意思是 $k$k 层的一个位置在 $k−1$k−1 层的视野大小是$f_k$fk​ ），但是这些位置要一直向前扩展到输入层。对于第一个位置，扩展后的感受野为 $l_{k−1}$lk−1​ ，正好是前一层的感受野大小，但是对于剩余的$f_k-1$fk​−1个位置就要看stride大小，你需要扩展到前面所有层的stride（注意不包括当前层的stride，当前层的stride只会影响后面层的感受野），所以需要乘以 $\prod_{i=1}^{k-1}s_i$∏i=1k−1​si​，这样剩余$f_k-1$fk​−1个位置的感受野大小就是 $(f_k - 1) * \prod_{i=1}^{k-1}s_i$(fk​−1)∗∏i=1k−1​si​，和第一个位置的感受野加到一起就是上面的公式了。
其实这个公式算是整合了前面的公式2和公式3（第一层的j=1），两个本质上是一致的，不过如果你仅想计算感受野大小可以用这个公式更方便。

总结

在CNN中，感受野应该是一个很重要的东西，但是往往被大家忽略，图像分割模型DeepLab就提到了感受野大小的问题，但是那里并没有给出计算公式，如果采用上面的公式就可以快速得到结果。对于图像分割，感受野大小对分割效果是有很大影响的，所以DeepLab采用了扩展卷积（Atrous Convolution， Dilated Convolution）来增加感受野大小。对于空洞卷积来说，你可以将其转化为普通卷积（卷积核大小增加）来计算特征图的感受野。另外，上面的公式同样适用于池化层，因为其在结构上与卷积层是类似的。