微积分的总结

再学微积分

初入微积分:不定积分

定义:不定积分是求导运算和微分运算不完全的逆运算。也是一种非构造的运算。

1. 为什么是它是它的逆运算？
2. 为什么说是不完全的逆运算？
3. 为什么说它是非构造的运算？

$F'(x)=f(x)\\ dF(x)=f(x)dx\\ \int f(x)dx=F(x)+C$F′(x)=f(x)dF(x)=f(x)dx∫f(x)dx=F(x)+C
所以,称它是它的逆运算。

$证明:为什么f(x)的原函数是且仅是F(x)+C?$证明:为什么f(x)的原函数是且仅是F(x)+C?
$假设f(x)的原函数不止一个,设F(x)是其中的特定的某一个。$假设f(x)的原函数不止一个,设F(x)是其中的特定的某一个。
$G(x)代表其中的任意一个。则,根据原函数的定义,有:$G(x)代表其中的任意一个。则,根据原函数的定义,有:
$F'(x)=f(x),且G'(x)=f(x),则有:h(x)=G'(x)-F'(x)=0。$F′(x)=f(x),且G′(x)=f(x),则有:h(x)=G′(x)−F′(x)=0。
$所以,只要F(x)是f(x)的一个原函数,任意的一个原函数都可以被表示为:$所以,只要F(x)是f(x)的一个原函数,任意的一个原函数都可以被表示为:
$F(x)+C,所以f(x)的原函数是且仅是F(x)+C$F(x)+C,所以f(x)的原函数是且仅是F(x)+C

假设不定积分和求导,微分在两个空间之间建立起了联系,那么,假设运算从求导,微分开始:
解空间$C1$C1对应的解空间$C2$C2所对应的解空间不是$C1$C1。实际上$C2$C2是$C1$C1的父集。
故称它们是一对不完全的逆运算。

任何一个特定的不定积分的求解空间$Y2$Y2是所有不定积分的求解空间的合空间$Y1$Y1的一个很小的子集。
所以说它是非构造的运算。

基本的不定积分公式

$\int 0dx=C\\ \int 1dx=\int d x=x+C \\ \int x^adx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+C (a\not =-1)\\ \int x^{-1}dx= ln |x|+C\\ \int a^x dx= \frac{a^x}{ln a}+C\\ \int e^xdx= e^x+C\\ \int cos xdx= sin x+C\\ \int sin xdx= -cos x+C\\ \int sec^2xdx= tanx +C\\ \int csc^2dx= -cot x+C\\ \int sec x tan xdx=sec x +C\\ \int csc x cot xdx=-csc x +C\\ \int \frac{1}{1+x^2}dx= arctan x+C=-arccot x+C1\\ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=arcsin x +C=-arccos x+C1$∫0dx=C∫1dx=∫dx=x+C∫xadx=a+11​xa+1+C(a​=−1)∫x−1dx=ln∣x∣+C∫axdx=lnaax​+C∫exdx=ex+C∫cosxdx=sinx+C∫sinxdx=−cosx+C∫sec2xdx=tanx+C∫csc2dx=−cotx+C∫secxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=−cscx+C∫1+x21​dx=arctanx+C=−arccotx+C1∫1−x2​1​dx=arcsinx+C=−arccosx+C1

不定积分的四大法宝

1. 不定积分的线性运算法则

$若\int f(x)dx,\int g(x)dx均存在\\ {\forall}\alpha,\beta(不同时为零)\\ 则:\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx$若∫f(x)dx,∫g(x)dx均存在∀α,β(不同时为零)则:∫[αf(x)+βg(x)]dx=α∫f(x)dx+β∫g(x)dx

证明:

例题1

$求\int tan^2xdx\\ \int tan^2xdx=\int (sec^2x-1)dx=\int sec^2 xdx-\int dx$求∫tan2xdx∫tan2xdx=∫(sec2x−1)dx=∫sec2xdx−∫dx

例题2

$求\int \frac{1}{sin^2xcos^2}\\ \int \frac{1}{sin^2xcos^2}=\int \frac{sin^2x+cos^2}{sin^2xcos^2}=\int (sec^2x+csc^2x)dx$求∫sin2xcos21​∫sin2xcos21​=∫sin2xcos2sin2x+cos2​=∫(sec2x+csc2x)dx

例题3

$求\int \frac{x^4}{x^2+1}dx\\ \int \frac{x^4}{x^2+1}dx=\int \frac{x^4-1+1}{x^2+1}dx=\int (x^2-1+\frac{1}{x^2+1})dx$求∫x2+1x4​dx∫x2+1x4​dx=∫x2+1x4−1+1​dx=∫(x2−1+x2+11​)dx

2. 不定积分的凑微分(第一换元法)

定义:在保持被积表达式的值不变时,于内部进行微分运算,以同时改变被积函数和积分变量,在整体上达到被积表达式形式的改变,以使其形式更加便于求解。

例题1

$求\int tan xdx\\ \int tan xdx=-\int \frac{1}{cos x}dcosx =-ln|cosx|+C\\ (\int cot x dx=ln|sinx|+C)$求∫tanxdx∫tanxdx=−∫cosx1​dcosx=−ln∣cosx∣+C(∫cotxdx=ln∣sinx∣+C)

记住一些微分关系式

$a*dx=d(ax+b)\\ 2x*dx=d(x^2 \pm a^2)\\ -2x*dx=d(a^2 - x^2)\\ cos xdx=dsinx\\ sinxdx=-dcosx\\ \frac{1}{x}dx=d|lnx|\\ e^xdx=de^x$a∗dx=d(ax+b)2x∗dx=d(x2±a2)−2x∗dx=d(a2−x2)cosxdx=dsinxsinxdx=−dcosxx1​dx=d∣lnx∣exdx=dex

例题2

$求\int \frac{1}{a^2+x^2}dx(a \not =0)\\ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a^2}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}d(\frac{x}{a})\\ =\frac{1}{a}arctan \frac{x}{a}+C$求∫a2+x21​dx(a​=0)∫a2+x21​dx=a21​∫1+(ax​)21​dx=a1​∫1+(ax​)21​d(ax​)=a1​arctanax​+C

例题3

$求\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx(a>0)\\ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\frac{1}{a}\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}dx=\int \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}d(\frac{x}{a})\\ =arcsin \frac{x}{a}+C$求∫a2−x2​1​dx(a>0)∫a2−x2​1​dx=a1​∫1−(ax​)2​1​dx=∫1−(ax​)2​1​d(ax​)=arcsinax​+C

例题4

$求\int \frac{1}{a^2-x^2}dx(a \not =0)\\ \int \frac{1}{a^2-x^2}dx(a \not =0)=\int \frac{1}{(a-x)(a+x)}dx=\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{a-x}-\frac{1}{a+x})dx\\=\frac{1}{2a}\int (\frac{1}{a-x}-\frac{1}{a+x})dx=\frac{1}{2a}[\int \frac{1}{a-x}dx- \int \frac{1}{a+x}dx] \\ =\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}| +C$求∫a2−x21​dx(a​=0)∫a2−x21​dx(a​=0)=∫(a−x)(a+x)1​dx=2a1​∫(a−x1​−a+x1​)dx=2a1​∫(a−x1​−a+x1​)dx=2a1​[∫a−x1​dx−∫a+x1​dx]=2a1​ln∣a−xa+x​∣+C

例题5

$求\int secxdx\\ \int secx dx=\int \frac{1}{1-sinx^2}dsinx\\ =ln|secx+tanx|+C\\ (\int csc x dx=ln|cscx-cotx|+C)$求∫secxdx∫secxdx=∫1−sinx21​dsinx=ln∣secx+tanx∣+C(∫cscxdx=ln∣cscx−cotx∣+C)

另解:

$求\int secxdx\\ \int secxdx=\int \frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\int \frac{1}{secx+tanx}d(secx+tanx)\\ =ln|secx+tanx|+C$求∫secxdx∫secxdx=∫secx+tanxsecx(secx+tanx)​dx=∫secx+tanx1​d(secx+tanx)=ln∣secx+tanx∣+C

例题6

$求\int e^{ax}\\ \int e^{ax}=\frac{1}{a}\int e^{ax}d(ax)\\ =\frac{1}{a}e^{ax}+C\\ (\int cosaxdx=\frac{1}{a}sinax+C)\\ (\int sinaxdx=-\frac{1}{a}cosax+C)$求∫eax∫eax=a1​∫eaxd(ax)=a1​eax+C(∫cosaxdx=a1​sinax+C)(∫sinaxdx=−a1​cosax+C)

3. 不定积分的变量代换(第二换元法)

定义:创建一个新的变元,并使其与x建立函数关系(这个函数被要求是可导并且严格单调的),而代替入被积表达式之中,以此使得被积表达式的形式发生变化,以使其形式更加便于求解

记忆一些常用的代换

1. $ \sqrt{a^2-x2} ,令x=asint,t \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
2. $ \sqrt{a^2+x2} ,令x=atant,t \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
3. $ \sqrt{x^2-a2} ,令x=asect,t \in [0,\frac{\pi}{2}]\cup [\frac{\pi}{2},\pi]$
4. $ \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} ,令\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$
5. $ \sqrt[n]{ax+b} ,令\sqrt[n]{ax+b}=t$

例题1

$求\int \sqrt{a^2-x^2}\\ 令x=asint\\ \int \sqrt{a^2-x^2}=\int \sqrt{a^2-a^2sin^2t} acost dt=a^2\int |cost|costdt \\ =a^2\int cos^2tdt=\frac{a^2}{2}\int (1+cos2t)tdt=\frac{a^2}{2}t+\frac{a^2}{4}sin2t+C\\ =\frac{a^2}{2}arcsin \frac{x}{a}+ \frac{a^2}{2}sintcost+C$求∫a2−x2​令x=asint∫a2−x2​=∫a2−a2sin2t​acostdt=a2∫∣cost∣costdt=a2∫cos2tdt=2a2​∫(1+cos2t)tdt=2a2​t+4a2​sin2t+C=2a2​arcsinax​+2a2​sintcost+C

$再根据上面的三角形法则,\\ =\frac{a^2}{2}arcsin \frac{x}{a}+ \frac{a^2}{2}* \frac{x}{a} \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}+C=\frac{a^2}{2}* \frac{1}{2}x\sqrt{a^2-x^2}+C$再根据上面的三角形法则,=2a2​arcsinax​+2a2​∗ax​aa2−x2​​+C=2a2​∗21​xa2−x2​+C

例题2

$求\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx(a>0)\\ 令x=atant\\ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int \frac{asec^2}{a^2tan^2t+a^2}dt\\ =\int sectdt=ln|sect+tant|+C\\ 再次运用三角形法则。此处省略。\\ =ln|x+ \sqrt{x^2+a^2}|+C\\ (同理:\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=ln|x+ \sqrt{x^2-a^2}|+C)(涉及到绝对值问题)$求∫x2+a2​1​dx(a>0)令x=atant∫x2+a2​1​dx=∫a2tan2t+a2asec2​dt=∫sectdt=ln∣sect+tant∣+C再次运用三角形法则。此处省略。=ln∣x+x2+a2​∣+C(同理:∫x2−a2​1​dx=ln∣x+x2−a2​∣+C)(涉及到绝对值问题)

例题3

$求\int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx\\ 令 \sqrt[6]{x}=t\\ \int \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}dx=\int \frac{6t^5}{t^3+t^2}dt=6 \int \frac{t^3+1-1}{t+1}dt\\ =6 \int (t^2-t+1+ \frac{1}{t+1})dx=6(\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2-ln(1+t))+C=...$求∫x​+3x​1​dx令6x​=t∫x​+3x​1​dx=∫t3+t26t5​dt=6∫t+1t3+1−1​dt=6∫(t2−t+1+t+11​)dx=6(31​t3−21​t2−ln(1+t))+C=...

例题4

$求\int \frac{x^2}{(2x+1)^{10}}dx\\ 令(2x+1)=t\\ \int \frac{x^2}{(2x+1)^{10}}dx=\frac{1}{8}\int \frac{t^2-2t+1}{t^10}=...$求∫(2x+1)10x2​dx令(2x+1)=t∫(2x+1)10x2​dx=81​∫t10t2−2t+1​=...

3. 分部积分

定义:将被积函数分为相乘的两个部分,$C1(x)$C1(x)和$C2(x)$C2(x)。对其中容易求导的一个求导,容易求原函数的求原函数,设其分别为$L1(x)$L1(x)和$L2(x)$L2(x)。将被积函数化为$g(x)=L1(x)\times L2(x)dx$g(x)=L1(x)×L2(x)dx,有$\int f(x)dx+\int g(x)dx=C1(x)\times L2(x)dx$∫f(x)dx+∫g(x)dx=C1(x)×L2(x)dx,编成一句口诀就是:“求原的真的求原了,求导的并不是真的求导”。

$原理:\int udv=uv-\int vdu$原理:∫udv=uv−∫vdu

证明:
$(uv)'=u'v+uv'\\ \int (uv)'dx=\int u'vdx+\int uv'dx\\ uv=\int vdu+\int udv\\ (也可以使用微分证明)$(uv)′=u′v+uv′∫(uv)′dx=∫u′vdx+∫uv′dxuv=∫vdu+∫udv(也可以使用微分证明)

例题1

$求\int xe^xdx\\ \int xe^xdx+\int e^xdx=xe^x\\ \int xe^xdx=xe^x-e^x+C$求∫xexdx∫xexdx+∫exdx=xex∫xexdx=xex−ex+C

记忆一些常见的分步积分情况

1. $L1(x)=P_k(x),L2(x)=e^{ax}(需要k次不定积分)$L1(x)=Pk​(x),L2(x)=eax(需要k次不定积分)
2. $L1(x)=P_k(x),L2(x)=cosax(需要k次不定积分)$L1(x)=Pk​(x),L2(x)=cosax(需要k次不定积分)
3. $L1(x)=P_k(x),L2(x)=sinax(需要k次不定积分)$L1(x)=Pk​(x),L2(x)=sinax(需要k次不定积分)
4. $L1(x)=h(arc...x),L2(x)=P(x)(能凑出darc...x则先凑)$L1(x)=h(arc...x),L2(x)=P(x)(能凑出darc...x则先凑)
5. $L1(x)=h(lnx),L2(x)=P(x)(能凑出dlnx则先凑)$L1(x)=h(lnx),L2(x)=P(x)(能凑出dlnx则先凑)

例题2

$求\int (1+x^2)cos2xdx\\ \int (1+x^2)cos2xdx+\int (2x)( \frac{sin2x}{2})=(1+x^2)( \frac{sin2x}{2})\\ \int xsinx+\int1*(-cosx)=x(-cosx)\\$求∫(1+x2)cos2xdx∫(1+x2)cos2xdx+∫(2x)(2sin2x​)=(1+x2)(2sin2x​)∫xsinx+∫1∗(−cosx)=x(−cosx)

例题3

$求\int \frac{arctanx}{1+x^2}dx\\ \int \frac{arctanx}{1+x^2}dx=\int arctanxdarctanx\\ =\frac{1}{2}(arctanx)^2+C$求∫1+x2arctanx​dx∫1+x2arctanx​dx=∫arctanxdarctanx=21​(arctanx)2+C

例题4

$求\int arctan xdx\\ \int arctan xdx+\int x(\frac{1}{1+x^2})=xarctanx\\ \int arctan xdx=xarctanx-\frac{1}{2}ln(1+x^2)+C$求∫arctanxdx∫arctanxdx+∫x(1+x21​)=xarctanx∫arctanxdx=xarctanx−21​ln(1+x2)+C

例题

$求\int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)}dx\\ \int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)dx}=\int (\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2})arctanxdx\\ =\int (\frac{1}{x^2})arctanxdx-\int \frac{arctanx}{1+x^2}dx\\ \begin{cases} \int (\frac{1}{x^2})arctanxdx+\int (-\frac{1}{x})(\frac{1}{1+x^2})=(-\frac{1}{x})arctanx \\ \int \frac{arctanx}{1+x^2}dx=\int arctanxdarctanx \end{cases}\\ 且又有:\int (\frac{1}{x})(\frac{1}{1+x^2})dx=\int (\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2})dx\\ \int \frac{arctanx}{x^2(1+x^2)}dx=...$求∫x2(1+x2)arctanx​dx∫x2(1+x2)dxarctanx​=∫(x21​−1+x21​)arctanxdx=∫(x21​)arctanxdx−∫1+x2arctanx​dx{∫(x21​)arctanxdx+∫(−x1​)(1+x21​)=(−x1​)arctanx∫1+x2arctanx​dx=∫arctanxdarctanx​且又有:∫(x1​)(1+x21​)dx=∫(x1​−1+x2x​)dx∫x2(1+x2)arctanx​dx=...

}
\int (\frac{1}{x^2})arctanxdx+\int (-\frac{1}{x})(\frac{1}{1+x^2})=(-\frac{1}{x})arctanx \
\int \frac{arctanx}{1+x^2}dx=\int arctanxdarctanx
\end{cases}\
且又有:\int (\frac{1}{x})(\frac{1}{1+x^2})dx=\int (\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2})dx\
\int \frac{arctanx}{x^2(1+x2)}dx=…
$$