总结：变换
参数估计
我们将会讨论以下方面的参数估计：
- 几何模型（如直线、平面、曲面）
- 几何变换（我们讨论过的任何参数化变换）
最小二乘法是解决这两个问题的通用策略！
参数估计：拟合几何模型
总体思路：
- 希望使模型适合原始图像特征（数据）：特征可以是点，边缘，甚至区域
- 参数化模型：模型例子是Rn的一个元素，也就是模型实例 = （a1， a2，…，an）
- 定义一个误差函数E（模型i，数据），该函数测量给定模型实例对数据的描述程度（好坏）
- 求解最小化E的模型实例
示例：直线拟合
总体思路：
1. 希望使模型适合原始图像特征（数据）：特征可以是点，边缘，甚至区域
2. 参数化模型：模型例子是Rn的一个元素，也就是模型实例 = （a1， a2，…，an）
3. 定义一个误差函数E（模型i，数据），该函数测量给定模型实例对数据的描述程度（好坏）
4. 求解最小化E的模型实例
点特征数据（第一步）
点特征 = {(xi, yi) | i = 1,…,n}
示例：直线拟合
总体思路：
- 希望使模型适合原始图像特征（数据）：特征可以使点，边缘，甚至区域
2. 参数化模型：模型例子是Rn的一个元素，也就是模型实例 = （a1， a2，…，an） - 定义一个误差函数E（模型i，数据），该函数测量给定模型实例对数据的描述程度（好坏）
- 求解最小化E的模型实例
直线参数化（第二步）
b横穿y轴
模型实例 = （m, b）
示例：直线拟合
总体思路：
- 希望使模型适合原始图像特征（数据）：特征可以使点，边缘，甚至区域
- 参数化模型：模型例子是Rn的一个元素，也就是模型实例 = （a1， a2，…，an）
2. 定义一个误差函数E（模型i，数据），该函数测量给定模型实例对数据的描述程度（好坏） - 求解最小化E的模型实例
最小二乘法（第三步）
最小二乘只是众多误差函数中的一种
- 给定直线（m, b）
- 点（xi，yi）到直线的距离是垂直距离
- E是所有点的平方距离之和
示例：直线拟合
总体思路：
- 希望使模型适合原始图像特征（数据）：特征可以使点，边缘，甚至区域
- 参数化模型：模型例子是Rn的一个元素，也就是模型实例 = （a1， a2，…，an）
- 定义一个误差函数E（模型i，数据），该函数测量给定模型实例对数据的描述程度（好坏）
3. 求解最小化E的模型实例
求极值的微积分（第四步）
- 分别求 E 关于 m 和 b 的一阶导数
- 将方程设为零
- 求解 m 和 b （线性回归的等价性）
最小二乘解
参数化问题
我们的参数化有一个问题，即（m，b）对于垂直线是未定义的
更一般的直线参数化是下面这样的
代数距离的最小二乘法
代数距离 ：
误差函数求导
（a，b，c）是与最小特征值相关联的特征向量
（只有在没有噪声的情况下才是0，因此所有的点都准确地在一条直线上）
请注意，与线性回归直线（在这种情况下）有很大不同，但我们可以放心，当我们的程序看到一条垂直线时，它不会凸起！
代数最小二乘问题
注意：我没有在图上画出误差向量
那是因为我不知道怎么画…
代数距离的主要问题：很难说清楚你在最小化什么，因为代数距离是有很少物理意义的量
正交最小二乘法
最小化正交（几何）距离。
在物理上有意义，但很难推导
表示：
垂直于直线测量的距离
正交最小二乘法
很难推导。
关键洞察：最佳的拟合直线必须会通过点集的质心！
将质心移到原点。
这就将问题简化为寻找垂直于直线的单位向量：寻找（a，b）使得 a平方 + b平方 =1
这将是点的散射矩阵的最小特征向量。
最后，解出c
正交最小二乘解
这个“距离”是指我们直觉上所期望的
（即到线上最近点的距离，或到线上的最小距离）
参数估计：估计变换
假设我们找到了两幅图像之间的匹配点，我们认为它们是通过一些参数化变换（例如平移；尺度欧几里德；仿射）相关联的。我们如何估计此变换的参数？
基本策略
基于对应点的最小二乘估计
两个重要（相关）问题：
多少自由度？
需要多少个对应点？
例子：平移估计
多少自由度？
有多少自变量？
两个
需要多少个对应点？
每个对应关系提供两个方程 (x, y)=>(x’, y’)
例子：平移估计
最小二乘估计：
最小化
尝试另一个例子
相似变换
实际问题
一旦我们估计了一个变换，我们如何（反）映射图像像素值来产生一个新的图像
映射&双线性插值
给定两个图像（坐标系）之间的变换，我们希望将一个图像“映射（warp）”到另一个图像的坐标系中。
我们将我们要映射的坐标系称为“源source”图像
我们将要映射到的坐标系称为“目标destination”图像。
映射例子
在这个例子中的变换是射影变换（一般的 3x3 矩阵，在齐次坐标系上运算）
正向映射
在源图像上的每个像素x
以H（x）的形式确定此像素的去向
为目标像素上色
正向映射问题
会留下空隙，这是一个比较大的问题（因为映射有放大作用）
逆向映射（没有空隙）
在目标图像上的每个像素x
以H-1（x）的形式确定此像素的来源
从那个地方获得颜色
插值
我们所说的“从那个地方获得颜色”是什么意思？
考虑灰度值。在（x, y）处的灰度值是什么？
最近的邻域：
取离中心最近的那个像素的颜色。
双线性插值
我们所说的“从那个地方获得颜色”是什么意思？
考虑灰度值。在（x, y）处的灰度值是什么？
双线性插值：加权平均
双线性插值，数学描述
首先，考虑线性插值
初始化：给定两个像素值，它们之间的某个中间点的值应该是多少？
如果接近（i，j），则灰度值应该类似于 I(i，j)
如果与两者距离相等，则应该为两个灰度值的平均值
如果接近 （i+1, j），则灰度值应该类似于 I(i+1, j)
线性插值
回忆：平面上直线求解
实例化：
求解：
双线性插值，数学描述
Matlab中的图像映射
interp2是 Matlab 内置的图像映射函数
用法： interp2(X,Y,Z,XI,YI)
使用Interp2的技巧
为了达到我们的目的，我们可以假设 X 和 Y 是正交的图像像素坐标
简单用法： interp2(Z,XI,YI)
它是如何工作的？
考虑计算R行和C列的ZI值。
XI 和 YI 是和 ZI 尺寸相同的两个数列
对给定行列（R, C），数值 (XI(R, C), YI(R, C)) 表示为获取的原始图像上 (X，Y) 坐标处的值
最终结果是： Z(YI(R, C), XI(R, C))
interp2 处理了双线性插值，以防 YI(R, C) 和 XI(R, C) 不是整数坐标。
interp2有可选参数来更改计算插值的方式。我们可以使用默认值，即双线性插值。
Meshgrid
使用interp2时的一个有用函数是meshgrid
Interp2例子
Interp2例子
易混淆点
将坐标值除以2是将图像放大尺度2
将坐标值乘以2是将图像缩小尺度2
Interp2希望反坐标变换为所需的几何变换（它使用逆向映射）
Interp2例子
一个更复杂的例子：缩小尺度2，但围绕图像中心（128, 128），而不是（0, 0）
回忆变换矩阵级联
这指定了我们希望原始图像如何映射到新图像中。
Interp2想知道新的图像坐标如何映射回原始图像坐标。
更一般的（比如齐次坐标系中任何 3×3 变换矩阵）