成像几何
世界坐标系 (U，V，W) 中感兴趣的对象
成像几何
相机坐标系 (X, Y, Z)
Z是光轴
图像平面 (像素平面，成像平面) 位于沿光轴往外 f 个单位
f 称为焦距
成像几何
正向投影到图像平面 (像素平面，成像平面) 上。
三维（X，Y，Z）投影到二维（x，y）
成像几何
我们的图像被数字化成像素坐标（u，v）
成像几何
正向投影
我们需要一个数学模型来描述如何将三维世界点投影到二维像素坐标中。
我们的目标：用一个矩阵表达式来描述这个转换序列！
反向投影
注意，很多视觉问题试图推导出反向投影方程，以便从图像（通过立体视觉或运动）中恢复三维场景结构
正向投影
三维 (3D) 到二维 (2D) 投影
透视投影
我们将从中间开始，因为我们在讨论立体视觉（Lecture 8）时已经讨论过这个问题。
基本透视投影
通过相似三角形获取
那么我们如何把它表示成一个矩阵方程呢？
我们需要引入齐次坐标。
齐次坐标
通过添加“虚拟”的第三坐标，构造齐次坐标，用三维点（x’，y’，z’）表示二维点（x，y）。
按照规定，我们有给定的三维点（x’，y’，z’），我们可以通过此三维点恢复二维点（x，y）
注意： (x, y) = (x, y, 1) = (2x, 2y, 2) = (kx, ky, k)
其中，对任何非零k（可以是负的也可以是正的）均成立
透视矩阵方程（在相机坐标系中）
正向投影
世界坐标系和相机坐标系之间的刚性变换（Rigid Transformation，旋转+平移）
世界到相机坐标系的变换
避免混淆：Pw和Pc不是两个不同的点。它们是相同的物理点，在两个不同的坐标系中描述。
世界到相机坐标系的变换
矩阵形式，齐次坐标
例子：简单立体视觉系统
左相机位于世界坐标系原点（0, 0, 0），相机坐标轴与世界坐标轴对齐。
简单立体视觉，左相机
简单立体视觉投影方程
左相机
例子：简单立体视觉系统
右相机位于世界坐标（Tx, 0, 0），相机坐标轴与世界坐标轴对齐。
简单立体视觉，右相机
简单立体视觉投影方程
左相机
右相机
Bob’s sure-fire 方法计算旋转
这个方程说明了世界坐标系（包括坐标轴）中的向量如何变换到相机坐标系。
计算旋转
世界坐标系 x 轴（1, 0, 0）与相机轴（a，b，c）是如何相对应的？
我们可以马上写出矩阵R的第一列；同样地可以操作计算世界坐标系 y 轴和世界坐标系 z 轴和相机轴的对应关系
计算旋转
另一种方法：有时更容易指定世界坐标中的相机X、Y或Z轴。如下，重新排列方程。
相机坐标系 X 轴（1, 0, 0）与世界坐标系的轴（a，b，c）是如何相对应的？
我们可以直马上出RT矩阵的第一列（也是R矩阵的第一行）；同样地可以操作计算相机坐标系 Y 轴和相机坐标系 Z 轴和世界坐标系轴的对应关系
例子
注意：外参通常也写为R，T
总结
我们现在知道如何将三维世界坐标点转换为相机坐标点，然后进行透视投影以获得成像（图像，像素）平面上的二维点。