An Efficient Solution to the Five-Point Relative Pose Problem阅读笔记

本文介绍的是通过五点法恢复运动。

求解本质矩阵

首先根据对极约束有:
$q'^TEq=0$
这个矩阵将E展开，可得：
$\hat{q}^T\hat{E} = 0$
其中， An Efficient Solution to the Five-Point Relative Pose Problem阅读笔记
这里的本质矩阵E有9个自由度（实际上5个，R,t减去尺度），5个点只能提供5个约束，所以E可以表示为 $X,Y,Z,W$ 的线性组合：

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这里不妨令 $w = 1$ ,只剩下 $x,y,z$ 三个未知数。又考虑到本质矩阵的性质：

将上式代入其中，可以获得下面的方程组：

这里消去了z,[3]指的是z的三次多项式。具体过程看不懂emmm
接下来，经过一些操作，可以将上面的方程组转换为下面两个方程组：
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这里由于方程组存在非零解，所以方程组的系数多项式为0，这两个z的11次方程又可以转化为1个z的10次方程，求解该方程得到z,再代入大方程组得到x,y。最终获得E。

恢复R，t

可以通过下面的公式恢复R,t
$E = USV^T\\ W=\begin{bmatrix} 0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\\ t_1^{\land} = UWSU^T\\ t_2 = -t_1\\ R_1 = UWV^T\\ R_2 = UW^TV^T$
组合得到下面四种可能情况：
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通过判断像点是否都在相机前方可确定最终的R，t

参考：
https://www.zhihu.com/question/281103029
https://blog.csdn.net/kokerf/article/details/72911561
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.86.8769&rep=rep1&type=pdf