现代数字通信第八章——阵列信号处理与空域滤波

主要内容：

• 阵列信号模型
• 空间谱估计
• 空域滤波

一、阵列接收信号模型

1、均匀线阵

$\quad$K个窄带信号分别从$\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_k$θ1​,θ2​,⋯,θk​方向，入射到间隔为d的均匀线阵，则接收到的信号向量为$x(n)=As(n)+v(n)$x(n)=As(n)+v(n)

• 第k个信源的方向向量为$\alpha(\theta_k)=[1,e^{-j\phi_k},\cdots,e^{-j(M-1)\phi_{k}}]$α(θk​)=[1,e−jϕk​,⋯,e−j(M−1)ϕk​]
• $\phi_{k}=2\pi d sin\theta_k/\lambda,\lambda为波长,\lambda=c/f_0$ϕk​=2πdsinθk​/λ,λ为波长,λ=c/f0​

2、任意阵列

3、均匀矩形阵

4、均匀圆阵

二、空间谱估计与DOA估计

$\quad$单个阵元的接收信号为$x(m)=s_1(n)s^{-jm\phi_1}\\X(\phi)=\sum_{m=0}^{M-1}x_m(n)e^{jm\phi}$x(m)=s1​(n)s−jmϕ1​X(ϕ)=∑m=0M−1​xm​(n)ejmϕ。$|X(\phi)|^2=|s_1(n)|^2|\frac{sin(\frac{M}{2}(\phi-\phi_1))}{sin(\frac{1}{2}(\phi-\phi_1))}|^2$∣X(ϕ)∣2=∣s1​(n)∣2∣sin(21​(ϕ−ϕ1​))sin(2M​(ϕ−ϕ1​))​∣2为空间谱，$\phi=\phi_1$ϕ=ϕ1​取极大值时，信源方向可根据$\phi_1=2\pi dsin\theta_1/\lambda$ϕ1​=2πdsinθ1​/λ确定。空间谱角度估计的分辨性能由阵列孔径$Md$Md决定，孔径越大，分辨率越高。空间谱角度估计又被称为DOA估计。

三、基于music算法的DOA估计

$\quad$信源在空间角度较靠近时，空间傅氏变换法不能将两信源分辨开，可对比功率谱估计思想用其它 算法进行DOA估计，称为超分辨率估计。
算法步骤

• 1.利用阵列接收的N次快拍数据，由$\hat{R}=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nx(n)x^H(n)$R^=N1​∑n=1N​x(n)xH(n)确定信号的空间相关矩阵$\hat{R}$R^
• 2.对$\hat{R}$R^进行特征值分解，得到$\hat{G}$G^
• 3.确定$P_{MUSIC}(\theta=\frac{1}{\alpha^H(\theta)\hat{G}\hat{G}^H\alpha(\theta)}$PMUSIC​(θ=αH(θ)G^G^Hα(θ)1​的峰值位置，得到波到达的方向$\{\hat{\theta_k}\}_{k=1}^K${θk​^​}k=1K​

MUSIC方法适用于任何不存在有相位模糊的阵列结构。

四、信号DOA估计的ESPRIT算法

$\quad$ESPRIT算法是在对阵列接收数据的相关矩阵进行特征值分解后，利用了空间相关矩阵信号的旋转不变特性进行角度分辨，无需谱峰搜索。

五、空域滤波

• 权向量$w$w，导向矢量$\alpha(\theta)=[1,e^{-j\phi,\cdots,e^{-j(M-1)\phi}}]^T$α(θ)=[1,e−jϕ,⋯,e−j(M−1)ϕ]T
• 阵列接收信号$x(n)=\alpha(\theta)s(n)$x(n)=α(θ)s(n)
• 空域滤波器输出$y(n)=w^H(n)x(n)=w^H\alpha(\theta)s(n)$y(n)=wH(n)x(n)=wHα(θ)s(n)
• 取适当的$w满足可以使得y(n)=0，也可以使得y(n)=Ms(n)$w满足可以使得y(n)=0，也可以使得y(n)=Ms(n)
• 改变空域滤波器的$w$w，可使某些方向的信号通过滤波器，而抑制另一些方向的信号，这就是 空域滤波。
• 空域滤波的方向图$F(\theta)=\frac{|y(n)|}{|s(n)|}=|w^H\alpha(\theta)|$F(θ)=∣s(n)∣∣y(n)∣​=∣wHα(θ)∣，若令$w=[1,e^{-j\phi_k},\cdots,e^{-j(M-1)\phi_{k}}]^T$w=[1,e−jϕk​,⋯,e−j(M−1)ϕk​]T，其中$\phi_{k}=2\pi d sin\theta_k/\lambda$ϕk​=2πdsinθk​/λ，则波束图在$\theta=\theta_0$θ=θ0​处取得最大值，因此改变$\phi_0或\theta_0$ϕ0​或θ0​即可改变波束方向，这就是相控阵的工作原理

波束主瓣宽度

$\quad$主瓣的半功率宽度（也成为3dB宽度$\Delta_{0.5}$Δ0.5​）为$\Delta_{0.5}=\frac{0.886}{Mcos\theta_0}\frac{\lambda}{d}(rad)=\frac{50.8}{Mcos\theta_0}\frac{\lambda}{d}(°)$Δ0.5​=Mcosθ0​0.886​dλ​(rad)=Mcosθ0​50.8​dλ​(°)
$\quad$可见随着阵元数的增加，波束宽度变窄，分辨力提高。

副瓣

$\quad$对于归一化方向图，副瓣电平为$\frac{1}{\frac{2|l|+1}{2}\pi}$22∣l∣+1​π1​
最大副瓣电平为$\frac{2}{3\pi}=-13.4dB$3π2​=−13.4dB，对阵列进行加窗处理可以降低旁瓣。

栅瓣

$\quad$栅瓣为在某个方向与主瓣电平相同，为避免这种情况，阵元间距应满足$d\le \frac{\lambda}{1+|sin\theta_0|}$d≤1+∣sinθ0​∣λ​