经典滤波器
输入信号中有用的频率成分和洗完滤除的成分个占有不同的频带,通过滤波器选频实现滤波目的
如高通滤波器,带通滤波器,低通滤波器等等
现代滤波器
信号和干扰的频谱会相互重叠,需要根据随机信号的统计特性,在某种准则下最大限度地抑制干扰,恢复信号,达到滤波目的.
数字滤波器类型快速判断方法
- 写出系统幅频特性函数\(|H(e^{j\omega})|=|H(z)|\Big|{z=e^{j\omega_0}}\)
- 令\(\omega_0=0,\pi\)等特殊值,计算出\(|H(e^{j\omega_0})|\)
- 当\(\omega_0=0\)时,\(|H(e^{j\omega_0})|>1\),低通
- 当\(\omega_0=0\)时,\(|H(e^{j\omega_0})|\)很小并且当\(\omega_0=\pi\)时,\(|H(e^{j\omega_0})|>1\),高通
- 当\(\omega_0=0,\pi\)时,\(|H(e^{j\omega_0})|\)很小并且当\(\omega_o=\frac{\pi}{2}\)时,\(|H(e^{j\omega_0})|>1\),带通
IIR滤波器
无线长脉冲响应数字滤波器,系统响应函数为
\[H(z)=\frac{\sum_{j=0}^{M}b_jz^{-j}}{1+\sum_{k=0}^{N}a_kz^{-k}}
\]
滤波器的阶数由分母的阶数决定,公式中分母的最小次幂是\(-n\).
此之谓N阶IIR滤波器
直接法设计
利用数值计算的方法设计
间接法设计
借助模拟滤波器设计方法,先设计出连续系统函数,再转换成离散的系统函数.
一般步骤:
- 借助模拟滤波器设计方法设计滤波器的系统函数\(H_a(s)\)
- 连续系统的系统函数\(H_a(s)\)转换成离散系统的系统函数\(H(z)\)
连续系统函数转换成离散系统函数的方法
脉冲响应不变法
拉普拉斯变换和z变换的关系
\[连续系统的极点s=\delta+j\Omega\\
离散系统的极点z=e^{j\omega}\\
z=e^{sT}
\]
公式
\[H(z)=\sum_{i=1}^{N}\frac{TA_i}{1-e^{s_iT}z^{-1}}\\
1)e^{s_iT}是H_a(s)中每个s域极点转换成z域极点\\
2)A_i是H_a(s)部分分式展开的各项系数\\
3)有基本z变换对\frac{1}{1-az^{-1}}->a^nu(n)可知\\
\frac{1}{1-e^{s_iT}z^{-1}}->e^{s_iTn}u(n)\\
4)T是采样间隔,其作用在于避免T过小时|H(e^(j\omega))|过大,一般可以T=1
\]
例子:
\[H_a(s)=\frac{1}{s+0.9}\\
他的极点s=-0.9\\
离散系统的极点就是z=e^{-0.9T}\\
H(z)=\frac{1}{1-e^{-0.9T}z^{-1}}
\]
脉冲响应不变法有以下局限性
脉冲响应不变法要求严格带限,股不能设计高通滤波器和带阻滤波器
连续系统的系统函数必须能够部分分式分解,才能采用脉冲响应不变法
双线性变换法
使得模拟频率\(\Omega\)和数字频率\(\omega\)的映射关系为单值映射关系
可以消除数字频率\(\omega\)附近的频谱混叠现象.
\[s和z的关系:s=\frac{2}{T}\cdot\frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\\
频率变换:\Omega=\frac{2}{T}tan\frac{\omega}{2}
\]
FIR滤波器
有限长脉冲响应滤波器,系统响应函数为
\[H(z)=\sum_{n=0}^{N-1}h(n)z^{-n}
\]
此之谓N-1阶FIR滤波器
设计
利用窗函数法,频率采样法和切比雪夫等波纹逼近方法设计
不能采用间接法