3D透视投影 - 1.左手系一般情况下的矩阵推导

3D透视投影

前置理论

齐次除法：[x, y, z, w] => [$\frac{x}{w}$wx​,$\frac{y}{w}$wy​,$\frac{z}{w}$wz​]
透视投影 - 齐次除法：[x, y, z, z] => [$\frac{x}{z}$zx​,$\frac{y}{z}$zy​,1]
标准观察体(Canonical View Volume, CVV)：标准立方体 $x,y,z\in$x,y,z∈[-1,1]

这边讨论的是左手系一般情况下的CVV, origin在中心 (区别于DirectX

视锥体图示

分析

$P_{cam}$Pcam​ >>>投影>>> $P_{film}$Pfilm​ >>>齐次除法>>> $P_{cvv}$Pcvv​

分析x：

$\frac{P_{camx}}{P_{camz}} = \frac{P_{filmx}}{d} = \frac{P_{filmx}}{n} =>P_{filmx} = \frac{nP_{camx}}{P_{camz}}$Pcamz​Pcamx​​=dPfilmx​​=nPfilmx​​=>Pfilmx​=Pcamz​nPcamx​​

$\frac{P_{filmx}}{H} = \frac{P_{cvvx}}{2}=>P_{cvvx} = \frac{2P_{filmx}}{H} = \frac{2n}{H}\frac{1}{P_{camz}}P_{camx} = zoom_x\frac{1}{P_{camz}}P_{camx}$HPfilmx​​=2Pcvvx​​=>Pcvvx​=H2Pfilmx​​=H2n​Pcamz​1​Pcamx​=zoomx​Pcamz​1​Pcamx​

同理可得y：
$zoom_y\frac{1}{P_{camz}}P_{camy}$zoomy​Pcamz​1​Pcamy​

分析z：

引入Clip坐标系，即未进行齐次除法前的坐标系，四维向量 (x, y, z, w)

$P_{clip} = (x_{clip},y_{clip},z_{clip},w)$Pclip​=(xclip​,yclip​,zclip​,w)
透视除法定义$P_{clip} = (x_{clip}, y_{clip},z_{clip}, P_{camz})$Pclip​=(xclip​,yclip​,zclip​,Pcamz​)

执行透视除法$P_{cvv} = (\frac{x_{clip}}{P_{camz}}, \frac{y_{clip}}{P_{camz}}, \frac{z_{clip}}{P_{camz}},P_{camz})$Pcvv​=(Pcamz​xclip​​,Pcamz​yclip​​,Pcamz​zclip​​,Pcamz​)

联立分析建立$P_{cam}$Pcam​ 到$P_{cvv}$Pcvv​关系：
$P_{cvvz} = \frac{z_{clip}}{P_{camz}}$Pcvvz​=Pcamz​zclip​​

根据线性变换，我们可以定义

$z_{clip} = aP_{camz} + b$zclip​=aPcamz​+b

$\frac{aP_{camz} + b}{P_{camz}} = -1, P_{camz} = n$Pcamz​aPcamz​+b​=−1,Pcamz​=n

$\frac{aP_{camz} + b}{P_{camz}} = 1, P_{camz} = f$Pcamz​aPcamz​+b​=1,Pcamz​=f

$=>$=>

$a = \frac{f+n}{f-n}$a=f−nf+n​

$b = \frac{-2nf}{f-n}$b=f−n−2nf​

将线性关系整理一下：

$P_{cvvx} = zoom_xP_{camx}$Pcvvx​=zoomx​Pcamx​

$P_{cvvy} = zoom_yP_{camy}$Pcvvy​=zoomy​Pcamy​

$P_{cvvz} = \frac{f+n}{f-n}P_{camz} + \frac{-2nf}{f-n}$Pcvvz​=f−nf+n​Pcamz​+f−n−2nf​

$P_{cvvw} = P_{camz}$Pcvvw​=Pcamz​

构造$P_{cam}$Pcam​到$P_{cvv }$Pcvv​矩阵：

注意

由于计算机实现“film"同焦距d缩放，因此焦距d并不影响最终成像。

这边体现的是不管是否真实世界还是计算机实现，要影响成像必须修改视锥体

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