透视投影矩阵的推导

上图是3D渲染过程中的空间变换过程，这里主要讨论观察空间到裁剪空间的转换。

由上图可知，经过观察变换后，空间变换为观察空间，也就是以摄像机坐标为原点的空间，这是接下来推导的前提。

下图是一个视锥体，在视锥体范围内的物体为可视的，不在视锥体内的为不可视。

我们有两个任务：
1、判断一个点是否在视锥体内（用于裁剪超出屏幕的点）。
2、计算顶点在裁剪空间上的坐标。
我们先忘掉矩阵的概念，只用基本的三维几何知识完成第一点。

先假定一个场景如下图：
已知以下参数：
fov：视锥体上下两个截面的夹角，此参数由设定摄像机参数时给定了
n：近截面z轴坐标，此参数由设定摄像机参数时给定了
f：远截面z轴坐标，此参数由设定摄像机参数时给定了
aspect：屏幕宽高比，此参数由设定摄像机参数时给定了
H：平行于远截面，并且经过P点的平面的高的一半，可通过计算得出

由此，我们只需要判断P点的y轴坐标除以H是否大于1（当y为负时是否小于-1），即可知道P点是否在y轴方向上超出了视椎体。同理可求出x轴。

下面先求y方向。
$H=z*tan(fov/2)$H=z∗tan(fov/2)
$y/H=y/z*tan(fov/2)$y/H=y/z∗tan(fov/2)

接下来求x方向，假设经过此P点截面的宽度为W
$W=aspect*H$W=aspect∗H
$W=aspect*z*tan(fov/2)$W=aspect∗z∗tan(fov/2)
$x/W=x/(aspect*z*tan(fov/2))$x/W=x/(aspect∗z∗tan(fov/2))

最后求z方向
$(z-n)/(f-n)$(z−n)/(f−n)

我们已经获得计算点是否在视锥体内的计算方式，现在我们把它转换为矩阵的形式，设M为我们要求的转换矩阵，可得：
$M \cdot \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{x}{z*tan(fov/2)} \\ \frac{y}{aspect*z*tan(fov/2)} \\ (z-n)/(f-n) \\ 1 \end{matrix} \right]$M⋅⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​z∗tan(fov/2)x​aspect∗z∗tan(fov/2)y​(z−n)/(f−n)1​⎦⎥⎥⎤​
$\left[ \begin{matrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03}\\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix} \right] \cdot \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{x}{z*tan(fov/2)} \\ \frac{y}{aspect*z*tan(fov/2)} \\ (z-n)/(f-n) \\ 1 \end{matrix} \right]$⎣⎢⎢⎡​m00​m10​m20​m30​​m01​m11​m21​m31​​m02​m12​m22​m32​​m03​m13​m23​m33​​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​z∗tan(fov/2)x​aspect∗z∗tan(fov/2)y​(z−n)/(f−n)1​⎦⎥⎥⎤​

我们发现求解$m_{00}*x + m_{01}*y + m_{02}*z + m_{03} = \frac{1}{z*aspect*tan(fov/2)}$m00​∗x+m01​∗y+m02​∗z+m03​=z∗aspect∗tan(fov/2)1​很难找出合适的$m_{00}$m00​和$m_{02}$m02​，因为左边x和z是以加法的形式相邻，右边z确成为了x的分母。

解决方法：将右边的齐次坐标每一项乘以z，所以有：
$\left[ \begin{matrix} m_{00} & m_{01} & m_{02} & m_{03}\\ m_{10} & m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{20} & m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{30} & m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{matrix} \right] \cdot \left[\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{x}{tan(fov/2)} \\ \frac{y}{aspect*tan(fov/2)} \\ z*(z-n)/(f-n) \\ z \end{matrix} \right]$⎣⎢⎢⎡​m00​m10​m20​m30​​m01​m11​m21​m31​​m02​m12​m22​m32​​m03​m13​m23​m33​​⎦⎥⎥⎤​⋅⎣⎢⎢⎡​xyz1​⎦⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎡​tan(fov/2)x​aspect∗tan(fov/2)y​z∗(z−n)/(f−n)z​⎦⎥⎥⎤​

所以可以求得矩阵为：
$\left[ \begin{matrix} \frac{1}{tan(fov/2)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{aspect*tan(fov/2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_{22} & m_{23} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right]$⎣⎢⎢⎡​tan(fov/2)1​000​0aspect∗tan(fov/2)1​00​00m22​1​00m23​0​⎦⎥⎥⎤​

$m_{22}*z + m_{23} = z*(z-n)/(f-n)$m22​∗z+m23​=z∗(z−n)/(f−n)

我们知道，当$z=n$z=n时，$(z-n)/(f-n)=-1$(z−n)/(f−n)=−1 所以 $m_{22}*n + m_{23} = -n$m22​∗n+m23​=−n

当$z=f$z=f时，当$z=n$z=n时，$(z-n)/(f-n)=1$(z−n)/(f−n)=1 所以 $m_{22}*f + m_{23} = f$m22​∗f+m23​=f

$联立 \begin{cases} m_{22}*n + m_{23} = -n \\ m_{22}*f + m_{23} = f \end{cases}$联立{m22​∗n+m23​=−nm22​∗f+m23​=f​

$求得 \begin{cases} m_{22} = \frac{-f-n}{n-f} \\ m_{23} = \frac{2*f*n}{n-f} \end{cases}$求得{m22​=n−f−f−n​m23​=n−f2∗f∗n​​

最后求得投影矩阵为：
$\left[ \begin{matrix} \frac{1}{tan(fov/2)} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{aspect*tan(fov/2)} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{-f-n}{n-f} & \frac{2*f*n}{n-f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right]$⎣⎢⎢⎢⎡​tan(fov/2)1​000​0aspect∗tan(fov/2)1​00​00n−f−f−n​1​00n−f2∗f∗n​0​⎦⎥⎥⎥⎤​

注意，通过此矩阵转换后的坐标是齐次坐标，只要除以w分量，根据结果就可以判断是否在[-1,1]范围内，也就是该点是否在视椎体内。

透视投影矩阵只是为了获得一个齐次坐标，为投影做准备，实际不进行真正的投影，真正的屏幕投影是在下一个阶段执行的。

相较于https://www.cnblogs.com/bluebean/p/5276111.html，本文是用另外一种几何思路推导透视投影矩阵，可以互相参考。